Uzay-Zaman Dört Vektörü

Newton mekaniğinde, eylemsiz bir S sisteminden (x, y, z) noktasının orijinden uzaklığı:

r² = x² + y² + z²

formülü ile verilir. Bu vektörün uzunluğu, S eylemsiz sistemine göre v  hızıyla hareket eden bir S¢ sisteminden gözlendiğinde değişmeden kalır (v << c şartı sağlanmalıdır).

                                                                                                 (1)

olduğu yerde,

Denklem (2) için şunu da söylemek mümkündür; gözlemcinin göreli v hızı c’ye kıyasla yeterince küçük olduğunda herhangi iki nokta arasındaki uzaklık üç boyutlu uzayda değişmez kalır veya,

                                                                                                               (3)

Tabii bu varsayımın doğruluğu, vektörün iki ucu aynı anda ölçüldüğünde veya vektörün iki sonunun belirlenmesinde geçen sürenin bütün eylemsiz sistemlerde aynı olması halinde geçerlidir.

Newton mekaniğinde, Gallileo dönüşümlerinde elde edilen bir sonuçta iki olay arasındaki zaman aralığının değişmezliğidir veya;

                                                                                                                   (4)

Dolayısıyla eşitlik Denklem (3) ve (4)’dan, Newton fiziğinde zamanın ve uzayın ayrı ayrı değişmez olduğu ancak ışık hızının değişen bir büyüklük olduğunun söylemek mümkündür.

Işık hızının sabit olduğu bir durumu düşünürsek, Lorentz dönüşümlerini kullanmamız gerekir ki, burada dört boyutlu uzay için üç boyutlu uzay koordinatları x, y, z ve dördüncü boyut olarak ict kullanılacaktır. (). Bu uzayda, bir noktanın konumunu veya bir parçacığın kinetik hali dört vektör S ile gösterilir. Bileşenleri; x, y, z, ict dir ve uzunluğu da aşağıdaki denklemle verilir;

S² = x² + y² + z² + (ict)²

Bu uzunluk S çatısına göre v hızıyla hareket eden herhangi bir referans çatısında gözlemlendiğinde değişmeden kalır. Örneğin;

Uzay- zaman değişkenliği:

                                                                              (5)

O zaman Newton mekaniğinin ayrı uzay ve zaman değişmezleri rölativitede dört boyutlu uzayda, herhangi iki olay arasındaki tek uzay-zamanı ile dolduruluyor veya;

                                                                                                            (6)

ve burada,

                                       (7a)

                                      (7b)

Sonuç olarak, Denklem (7b)’de Lorentz dönüşümlerini kullanarak ∆S¢² = ∆S² olduğunu gösterebiliriz.

Dört boyutlu vektör uzayının üç gerçek ve bir sanal bileşeni olduğu 3 boyutlu uzayda hayal bile edilemez  ancak 3 boyutlu uzayın bütün özelliklerinin 4 boyutlu uzayda aynı olduğunu vurgulamalıyız.