Genelleştirilmiş Koordinatlarda Hız ve İvme

            ler veya bunların ters vektörleri * lar cinsinden bir parçacığın hızı,

                                                                                  (3)

olarak veya,

                                                                                (4)

şeklinde ifade edilebilir.  vektörleri ile skaler çarpım olarak elde edilen V_i lere hızın “kovaryant bileşenleri” adı verilir.

                                                                         (5)

            Kartezyen koordinatların genelleştirilmiş koordinatlara fonksiyonel bağımlılığı bilgisinden, (5) bağıntısındaki kartezyen hız bileşenleri ( ) genelleştirilmiş koordinatlar ve zamana göre türevleri cinsinden bulunabilir:

                                                          (6)

            Burada,   q_i ler ve bunların zamana göre türevlerinin açık fonksiyonlarıdır. Buna göre aşağıdaki sonuçlara varırız:

                                                               (7)

            (1.45) bağıntısındaki kısmi türevler yerine (7) deki eşitlikleri konulursa,

                                                             (8)

elde edilir, burada  dir. (8) bağıntısı ile hızın kovaryant bileşenlerini hesaplayabilmek için önce V²/2  yi  q_i ler   ler cinsinden yazmalıyız.

           Örnek:

           x=r sin q cosf,       y= r sin q sin f,      z=r cosq

olarak verilen küresel koordinatlarda,

olarak bulunur. Koveryant hız bileşenleri,

gibidir.

            (3) bağıntındaki V_i*, lere hızın “koutravaryant bileşenleri” adı verilir (1) bağıntıları kullanılarak,

sonucuna varamaz. Kountravaryant hız bileşenlerine aynı zamanda “genelleştirilmiş hızlar” da denir. İlginç bir farklılıkla, hızın kovaryant bileşenleri çarpı parçacığın kütlesine “genelleştirilmiş parçacık momentumu” adı verilir:

            P_i = mV_i

            İvmeyi yalnızca,

                                                                                   (10)

şeklinde yazacağız, burada ivmenin kovaryant bileşenleri,

olarak verilir. (1.47) bağıntıları yardım ile a_i lar çok kullanışlı bir şekilde yazılabilir. Örneğin,

şeklinde yazılabilir, burada,

eşitliğini kullanarak,

                                       (11)

buluruz.  için benzer ifadeleri kullanarak,

                                                                              (12)

olarak bulunur.

           Örnek:

           x= gcosf,    y=gsinf,  z=z

veya

           f=tan^-1(y/x),   z=z

olarak tanımlı silindirik koordinatlarda,

baz vektörleri,

 ler bribirlerine diktirler,

            V_z =

Kartezyen bileşenlerle,

Koutravaryant hız bileşenleri,

Kovaryant ivme bileşenleri,