Serbest Elektronlar

            Bu bölümde metallerdeki elektriksel iletkenliğe, ısısal iletkenliğe serbest elektronlar kavramından giderek ulaşacağız.

Deneysel yollarla belirlenen metallerin bazı özellikleri:

1- Belli bir sıcaklıkta bir metal ohm yasasına oldukça uyar.

2- Oda sıcaklığında elektriksel iletkenlik metallerde 10³-10⁵ (1/ohm.m), yarı iletkenlerde   10⁵-10⁰ (1/ohm.m), yalıtkanlarda 10⁰-10^–20 (1/ohm.m) arasında değer alır.

3- İyi bir elektriksel iletken olan metaller aynı zamanda iyi birer ısısal iletkendirler ve belli bir sıcaklıkta  = sabittir. (T=sbt.)

K_e=elektronlardan ileri gelen ısısal iletkenlik

=elektriksel iletkenlik

veya      Wiedman-Franz Kuralı       (L:Lorentz sabiti)

Yüksek sıcaklıklarda L biraz daha büyük bir katsayı, düşük sıcaklıklarda L biraz daha küçük bir katsayı olarak karşımıza çıkıyor.

4- Bir metalin uçları arasında sıcaklık farkı olması halinde uçlar arasında potansiyel farkı oluşur.

5- Metallerde elektriksel özdirenç, kusurlardan ve fononlardan ileri gelen özdirençler toplamı ?=?_kusur+?_fonon olarak verilir.

     Kusurlardan ileri gelen özdirenç sıcaklıkla ilişkili olmadığından düşük sıcaklıklarda ? yaklaşık sabittir. Fonon-elektron etkileşmesinden ileri gelen direnç, fonon sayısına bağlı olduğundan düşük sıcaklıklarda yaklaşık sıfır, yüksek sıcaklıklarda fonon sayısı nedeni ile sıcaklık (T) ile orantılıdır.

6- Ferromanyetik metaller ve alaşımlarda manyetik etkilerden dolayı elektriksel direnç yüksektir.

7- Serbest elektronlar küçük paramanyetik alınganlığa sahiptirler, bu özellik sıcaklıkla değişmez.

8- Metallerin hemen hemen yarısı yeterince düşük sıcaklıklarda süper iletken davranışı gösterirler.

9- Elektriksel iletkenliğe serbest elektronların yaklaşık olarak %1 ile %3’ü katkıda bulunur.

Serbest Elektronlar:

Metal atomundaki değerlik elektronlarına  serbest elektronlar denir, diğer elektronlara da bağlı veya öz elektronlar denir. Ancak katıyı oluşturmak üzere atomlar bir araya geldiğinde serbest elektronlar klasik gaz (ideal gaz, fermi gazı) gibi davranmaya başlarlar. Bu nedenle bu elektronlara serbest elektron gazı veya fermi gazı da denir. Bu elektronlar, klasik serbest elektron yaklaşımı (Durude-Lorentz), kuantumsal serbest elektron yaklaşımı (Sommerfeld) şeklinde ayrı ayrı incelenecektir.

1-) KLASİK SERBEST ELEKTRON YAKLAŞIMI

Na, Cu, Ag, Au                : tek değerlikli elektronlar

Cu, Be, Mg, Zn, Cd, Al   : iki değerlikli elektronlar

Al, Ga, In, Tl                    :üç değerlikli elektronlar

            Tek başına izole bir atom nötürdür ve tüm elektronları atoma bağlıdır. Ancak katı maddede metal atomlarının değerlik elektronları atomdan koparak katı içerisinde serbest elektron olarak dolaşmaya başlar. Bu elektronların sayısı atom başına yukarıda belirtildiği kadardır. Katı içinde serbest elektronların sayısı  mertebesindedir. Elektronlarının bir kısmını ortama bırakan atom pozitif 1,2,3 değerlikli iyon merkezleri halinde katıdaki yerlerinde dururlar. Bu serbest elektronlar katı maddeyi terk edip gitmezler. Çünkü kristal katının yüzeylerinin oluşturduğu potansiyel kuyusu içindedirler.

            Isısal denge durumunda ise elektronlar ısısal enerjileri ile her doğrultuda yön seçimsiz hareketler yaparlar.

            Elektronların enerjilerine, elektrik alandaki davranışlarına (elektriksel iletkenliğe), ısınma ısılarına, ve ısısal iletkenliklerine bakalım. Elektronların hepsi yaklaşıkça aynı hıza sahiptirler, . ( V_ort.: elektronların rasgele hareketinden kaynaklanan ortalama hızlarıdır.)

Elektronların Enerjisi

Elektronlar serbest olduklarından potansiyel enerjileri yoktur. Enerjileri sadece kinetik enerjiden ibarettir.

Bir elektrik alan içinde serbest elektronlar;

Elektriksel İletkenlik:

    Katı içinde iki çeşit akımdan bahsedilebilir. Biri difüzyon akımı diğeri dirift (sürüklenme) akımı.

Difüzyon Akım: Katının içinde mevcut olan, elektron yoğunluğunun yüksek olduğu bölgeden az olduğu bölgeye hareket ederken ortaya çıkan akımdır.

Dirift Akım: bir metal bir elektrik alan içine konunca metal içindeki serbest elektronlar elektrik alana zıt yönde hareket ederler. Bu elektronların doğurduğu akıma sürüklenme akımı denir.

            Katı, bir elektron alan içinde ise elektronlar ortalama hızlarının üzerine ilave, elektrik alandan dolayı bir hız kazanırlar. Buna sürüklenme hızı denir.

ortalama serbest zaman    

sürüklenme hızı

            Elektrik alan uygulandığında herhangi bir doğrultuda  hızla gitmektedir. –eE kuvvetinin etkisiyle elektron elektrik alana ters yönde kazandığı  sürüklenme hızı  hızının üzerine vektörel olarak ilave edilir.

            hızı ile yön seçimsiz yüksek hızla hareket eden elektron bir  zaman sonra ya bir elektrona ya da + yüklü bir iyon merkezine çarpmamak için yön değiştirir. Yeni yolunda tekrar  zaman süresince gider yine çarpmamak için yol değiştirir. Fakat bu sırada da  sürüklenme hızı hep aynı yönlü olduğundan alana ters yöndeki disiplinli hareketinden dolayı bir yol alır. İşte bu disiplinli hareket elektrik akımını doğurur. ’yu belirleyen hız ortalama hızdır (dolayısıyla T sıcaklığıdır, ayrıca atomların diziliş mesafesi de önemlidir).

Elektrik Akım Yoğunluğu (J):

1. SONUÇ: Klasik elektron modeli elektronların ohm yasasına uyduğunu söyler. Bu sonuç deneysel sonuçlarla uyuşmaktadır.

Serbest elektronların katının ısı sığasına ve elektriksel iletkenliğe katkısı

N tane serbest elektron içeren bir katı için toplam enerji ’dir.

Elektronlardan ileri gelen ısı sığası:

Elektronlardan ileri gelen ısı iletkenliği:

2. SONUÇ: Klasik yaklaşım Lorentz katsayısının   olduğunu göstererek deneysel sonuçları doğrulamıştır.

3. SONUÇ: Deneysel olarak serbest elektronların ısı sığasına katkıda bulunan elektron sayısı yaklaşık olarak 0,01 ile 0,03 arasında değişir ve elektronlardan gelen katkı sıcaklıkla doğru orantılıdır. Bu    ,   kadardır. Oysa klasik yaklaşımda serbest elektronlardan ileri gelen katkı  kadar olup sıcaklıktan bağımsızdır ve de enerji sürekli olduğundan elektronların %50’si ısı sığasına katkıda bulunur. Bu ise deneysel sonuçlarla uyuşmaz. Yani C_e’nin değeri 1,5Nk değil bu değerin yaklaşık %1’i kadardır.

Klasik serbest elektron kuramında  idi.                 

   ’yu etkileyen iki faktör vardır;

1- Elektronların kusurla etkileşmesi: Sıcaklıktan bağımsızdır.

2- Elektronların fononlarla etkileşmesi:Sıcaklığa bağlıdır.

Düşük sıcaklıklarda fononlardan gelen katkı büyüktür.

Na için yüksek sıcaklıklarda ’nun      sıcaklıkla orantılı arttığını gösteren grafik

.

Na için düşük sıcaklıklarda ’nun yaklaşık sabit olduğunu gösteren grafik

4. SONUÇ: Klasik serbest elektron modeli deneysel olarak gözlenen şu sonucu da açıklayamamıştır. İletim elektronları diğer elektronlardan veya iyon merkezinden saçılmadan doğrusal bir çizgide çok uzun mesafeler gidebilmektedir. Alçak sıcaklıklarda çok saf bir metalde ortalama serbest yol atomlar arası uzaklığın 10⁸ katı yanı 1cm’den fazla olabilmektedir. Bu yoğun madde ortamı iletim elektronlarına nasıl bu kadar saydam davranabilir? Bunun iki sebebi vardır.

1-) İletim elektronları periyodik bir örgüdeki iyon merkezlerinden saçılmaya uğramazlar. Çünkü kuantumlanmış madde dalgaları periyodik dalgalar serbestçe ilerleyebilir.

2-) Bir iletim elektronu diğer iletim elektronu tarafından çok nadir olarak saçılmaya uğratılabilir. Bu Pauli dışarlama ilkesinin sonucudur.

2-) KUANTUMLANDIRILMIŞ SERBEST ELEKTRON MODELİ 

     (Sommerfield Modeli)

            Klasik serbest elektronların hepsi ortalama aynı kinetik enerjiye sahip elektronlardır. Gerçekte elektronlar böyle davranmazlar. Kuantum mekaniğine göre elektronların enerjisi kuantumlanmıştır. Pauli dışarlama ilkesine göre hiçbir elektron bir diğeri ile aynı kuantum durumunda bulunamaz. Ya enerji düzeyleri ya da spin durumları farklıdır.

            Elektronların iki tanesi bir enerji düzeyinde birinin spini yukarı diğerinin spini aşağı olacak şekilde yerleşmişlerdir. Kristallerin yüzeylerinin oluşturduğu potansiyel kuyusu içine bu şekilde her enerji düzeyinde iki elektron bulunur.

            Tüm elektronlar en düşük enerji düzeyinden başlayarak dizilirler. T=0°K’de bu şekilde enerji düzeyleri hiç boş düzey kalmadan doldurulduğunda en yüksek düzeye fermi enerji düzeyi denir.

Metallerde tipik fermi enerji düzeyi yaklaşık 5 eV civarındadır. Elektronlar enerji düzeylerine şekildeki gibi yerleşmişlerdir. Serbest kuantumlanmış elektron demek serbest olduklarından bir potansiyel enerjisi olmayan ve dalga hareketi yapan tanecikler anlamına gelir. Bir elektronun kristal içindeki hareketi tek boyutta; 

 ilerleyen düzlem dalga denklemidir.

Kristalin boyu L ise periyodiklik sınır şartından;

Schödinger Dalga Denklemi

p:momentum işlemcisi         

0°K’de tüm enerji düzeyi elektronlarla dolu ise bu düzeye fermi enerji düzeyi deniliyordu. Fermi enerji düzeyinin üzerinde boş enerji düzeyleri vardır. T > 0°K olduğunda bazı elektronlar ’nin üstündeki düzeylere geçerler. Bir elektronun bir E enerji düzeyinde bulunma olasılığı (veya E düzeyinin dolu olma olasılığı) Fermi-Dirac enerji fonksiyonu ile verilir.

Pauli dışarlama ilkesine göre bir elektronun dış alanlar (elektrik alan, manyetik alan ve termal enerji) ile etkileşmesi bu etkileşme sonucunda gideceği enerji düzeyinin boş olması durumunda mümkündür. Aksi takdirde uygulanan dış alan elektrona enerji aktarmaz ve elektronun enerjisi değişmez. Dış alan etkisi ile elektronun enerjisi  kadar değişmişse ’nin  kadar altında olan elektronlar ’nin üstündeki boş enerji düzeylerine geçebilirler, daha aşağıda olan elektronların enerjileri ’nin üstüne geçmeye yetmez.

 Eğer  ise boş düzeylere geçen elektron sayısı:          ’dir.

            ’yi üç şekilde sağlayabiliriz;

1- Metale bir  elektrik alan uygulansın. L serbest yolu boyunca elektronun enerjisindeki değişme:  eV değerindedir.

2- Manyetik alan içindeki elektronun enerjisinin kuantumlanması halinde;

3- Termal yolla elektron oda sıcaklığında ısısal yolla enejisini değiştirdiğinde;

eV olur.

      Demek ki normal koşullarda bu üç çeşit uyarma ile serbest elektronların sadece  düzeyine yakın olan küçük bir oranı dış uyarmalardan etkilenerek enerjisini değiştirir. Bu elektronlar katının fiziksel özelliklerini belirler. ’nin çok altında olan elektronlar fiziksel özelliklere etki etmezler.

      Oda sıcaklığında kT enerji bölgesindeki elektronlar ’nin üstüne uyarılırlar. Dolayısıyla  düzeyi boşaltılmış olarak görülür. Bir olasılıkla dolu olan yeni fermi seviye biraz geriye sola kayar. Ancak olduğundan yeni fermi düzeyi ile T=0°K fermi düzeyi biraz farklı olsalarda çok yakın ve yaklaşıkça eşit sayılabilirler. Bu nedenle fermi düzeyi yaklaşıkça sıcaklıktan bağımsız bir enerji düzeyi olarak kabul edilebilir. olur.

     k’nın olası değerleri için  momentum uzayında enerji düzeyleri bir hacim oluştururlar. Fermi yüzeyi bu hacmi çevreleyen dolu enerji düzeyleri ile boş enerji düzeylerini ayıran düşünsel bir yüzeydir. Yani  bağıntısı momentum uzayında bir eş enerji yüzeyi belirler. Bu yüzeye fermi yüzeyi denir.  enerjili elektronların özellikleri, davranışları tümü ile fermi yüzeyinin şekli tarafından belirlenir.

Fermi Yüzeyi

      Örneğin sadece yüzeyindeki elektronlar elektriksel ve ısısal uyarmalardan etkilendiklerinden bu olaylar fermi yüzeyinin şekline bağlıdır.

Üç boyutlu enerji ifadesi

  olduğu için fermi yüzeyi küreseldir.

      Her elektron k uzayında bir nokta ile gösterilirse bir serbest elektronun enerjisi momentum uzayında;

Fermi enerji seviyesindeki hız fermi hızı olur.

’nin elektron yoğunluğuna bağlılığı:

fermi küresi içindeki elektronların sayısı:                 

Mesela;  ise;

SONUÇ: Fermi enerjisi sıcaklıktan bağımsız olup elektron yoğunluğuna bağlıdır.

Durum Yoğunluğu Fonksiyonu :

      Örgü titreşim frekanslarındaki kip yoğunluğuna benzer biçimde birim enerji aralığı başına düşen yörünge sayısı durum (enerji seviyeleri) yoğunluğu fonksiyonu ’yi türetelim.

 şeklinde tanımlanır.

: dolu veya boş olan enerji düzeylerinin (yörünge) sayısı.

Bir  enerji düzeyine kadar olan momentum uzayında bulunan durumların sayısı;

Her yörünge bir enerji düzeyi ile gösterilir. Bu düzeylere de, enerji durumları denir.

        Kuantum Durumları Yoğunluğu Fonksiyonu

Serbest elektronların ısı sığasına katkısı:

1-C=AT midir?

2- Elektronlardan gelen katkı  0,01-0,03  arasında mıdır?

Bu iki soruya cevap arayalım.

 için ’yi bulmaya çalışalım:

Elektron gazının sıcaklığı 0°K’den T°K’e çıkarıldığı zaman elektronlardan ileri gelen ısı enerjisi artışı;

1.  ’de   olduğu için  ’nin üzerine çıkan elektronların enerjisini verir.

2. de sadece ’ye kadar olan elektronların enerjisidir.

            (1)

2. terimin 0 olması T’ye bağlı bir fonksiyon olmadığı içindir.

T=0°K’den itibaren ’den farklı olan dolu enerji durumlarının sayısı:

ifadenin her iki tarafını  ile çarpalım; 

sıcaklığa göre türevini alalım;        (2)

(2)’yi (1)’de yerine yazalım;

Tüm E bölgesi ile ilgilenmek yerine  ye karşılık gelen Fermi bölgesi ile ilgilenirsek E yerine ;

Ara işlem:

   idi.

  dönüşümünü uygulayalım.

 idi ,                  

      ise  A katsayısını bulalım; bunun için  nedir?

  idi.   (1)

   idi.                (2)

     (3)

(1)-(2)-(3)’ün sonunda;

  dir.

  ısı sığasına katkıda bulunurlar.

SONUÇ: Isı sığasına tüm elektronların  kadarlık oranı bir katkıda bulunur ve bu katkı olduğundan 0,001-0,003 civarında olup deneysel sonuçları doğrulamaktadır. Sıcaklıkla ısı sığası orantılı olarak değişmektedir.

Elektronlardan İleri Gelen Isı İletkenliği:

Bir katıda ısı iletkenliğine katkı elektronlardan ve fononlardan ileri gelir;

 dur.

Metallerde; 

 idi.

Düşük Sıcaklıklarda  

Sadece Fermi düzeyindeki elektronlarla ilgileniyorsak; 

Isıyı Fermi yüzeyine yakın olan elektronlar iletir.

   alınırsa,

  idi.

Lorentz sabiti: 

İrdeleme: Deneysel Sonuç

         Na                 Au                 Fe

L  :    5,2x10^-9         5,9x10^-9        5,5x10^-9

     Yüksek sıcaklıklarda elektron-fonon etkileşmesi baskındır. Fonon sayısı T ile arttığından ortalama serbest zaman da  ile değişecektir. Bu nedenle   sabit çıkar.

     Yüksek sıcaklıklarda  sabit çıkar.

     Düşük sıcaklıklarda elektron-kusur ve elektron-kristal boyutu etkileşmeleri baskındır.  sıcaklıktan bağımsızdır ve bu nedenle ;

Eğimin pik noktası, fonon sayısı artarken, fonon-elektron etkileşmesinin süresi azalır. Belli bir sıcaklıktan sonra da iletkenlik sabit kalır.

Elektriksel İletkenlik:

Dalga hareketi yapan elektronların momentumu: 

Bu alana etki eden kuvvet:

        (1)

Yüksek sıcaklıklarda:   idi.   (2)

         (3)

                  (4)

(3) ve (4) ten: 

          (5)

(1)-(2) ve(5) dikkate alınırsa:

Yüksek sıcaklıklarda;   olur.

olur.

Bu sonuçlar, deneysel sonuçlarla uyum içindedir.

Serbest Elektronların Paramagnetik Alınganlığa Katkısı:

     Klasik serbest elektron modeline göre, tüm serbest elektronlar magnetik alınganlığa katkıda bulunurlar ve genel olarak magnetik alınganlığı:

ve klasik yaklaşımda ;

olarak ifade edilir. Klasik yaklaşımın neticesi olarak paramagnetik alınganlığa katkısı (T=0°K’de) tüm serbest elektronlardan ileri gelir ve magnetik alınganlık sıcaklıkla ters orantılı olarak değişir.

     Kuantum mekaniksel olarak, serbest elektronların T=0°K’de paramagnetik alınganlığa katkısı:

  olarak verilir.         (T=0°K’de)

     Fermi enerji seviyesi, sıcaklıktan yaklaşıkça bağımsız olduğu için  magnetik alınganlık ta sıcaklıktan bağımsız olarak incelenir.

T=T °K  , °K:

     T °K için elektronların paramagnetik alınganlığa katkısı sıcaklıkla değişimi çok küçük olduğundan, yaklaşıkça sıcaklıktan bağımsız olduğu kabul edilebilir. Kuantumsal serbest elektron modeli, deney sonuçlarını desteklemektedir. (Deneysel sonuçların 7. maddesi ile tutarlıdır).

Serbest Elektron Modelinin Başarısız Olduğu Durumlar

     Serbest elektron modeli metallerin gözlenen özelliklerini açıklamakta başarılı olmakla birlikte aşağıdaki sonuçları açıklamakta yetersiz kalmıştır.

1-     Model elektriksel iletkenliğin, elektron yoğunluğu ile doğru orantılı olduğunu kabul eder. Be, Cd ve Zn gibi iki değerlikli ve Al, In gibi üç değerlikli metaller; Cu, Ag, Au gibi bir değerlikli metallerden daha düşük iletkenlik gösterir.

2-     Serbest elektron modeli her zaman (-) işaretli Hall sabitini tahmin ettiği halde; Be, Zr, Cd gibi metallerin Hall sabitleri (+) işaretlidir.

3-     Serbest elektron modeli, küresel Fermi yüzeyini tahmin ettiği halde, ölçümler sık sık küresel olmayan Fermi yüzeyleri ortaya çıkarmıştır.

4-     Maddeleri; metal, yarı iletken ya da yalıtkandır diye ayırabileceğimiz bir sonuç vermemiştir.

5-     Hemen hemen mükemmel kristallerde serbest elektronların ortalama serbest yolunun çok uzun olmasının sebebini açıklayamamıştır.