ENERJİ BAND KURAMI

Periyodik Örgü İçindeki Elektronların Kuantum Teorisi:

     Metaller içindeki elektronlar serbest elektronlardı ve bu elektronları incelerken serbest parçacıklar veya ideal gaz gibi ele almıştık. Bu elektronların klasik parçacıklardan farkı Fermi-Dirac İstatistiğine uymalarıdır. Bunun neden böyle olduğunu açık bir şekilde ifade etmemiştik ve bazı metallerde serbest elektronların çok bulunmasını yani iyi bir iletken olmasını, bazılarında hiç serbest elektron bulunmayışını yani yalıtkan olduğunu açıklamamıştır.

Kristal içinde en basit kuantum mekaniksel model şöyledir:

     Elektron mükemmel bir şekilde periyodik bir potansiyel etkisi altındadır ve bu potansiyelin periyodu örgü potansiyeli ile aynıdır.

Bir kristalin bu tek elektron modelinde periyodik potansiyelin şu şekilde olduğu düşünülmektedir:

     Bu potansiyel örgü noktalarına yerleştirilmiş iyonların periyodik yükleri ile bütün kristal içine yayılmış serbest yük taşıyıcılarının oluşturduğu ortak potansiyelden oluşmaktadır. Bu toplam potansiyele Kristal Potansiyeli denir.

Kristal Potansiyeli

ŞEKİL 3

Elektronun içinde hareket ettiği  kristal potansiyeli iki terimden oluşur.

Bunlar örgüyü oluşturan iyon korları (merkezleri) ile iletim elektronlarının etkileşmesinden doğan  potansiyeli ve iletim elektronunun öteki iletim elektronu ile etkileşmesinden doğan  potansiyelidir. Bu potansiyellerin toplamı:

= +   = Kristal Potansiyeli

     Örnek olarak Na kristalini dikkate alırsak, 3s bandındaki bir elektron diğer Na atomundaki  diğer elektronlarla etkileştiği gibi, örgüyü oluşturan Na⁺ iyonları ile de etkileşir. 3s bandındaki bir elektronun iyon korlarıyla etkileşmesinden doğan potansiyel;

: Öteleme vektörü olup, herhangi bir iyon korunun yeri temel örgü vektörleri ile verilir.

     ’nin potansiyeli  öteleme vektörüne bağlı olduğu için periyodik bir potansiyeldir.

     Oysa elektron-elektron etkileşmesini temsil eden  potansiyelinin tayininde aşağıda sıralanan güçlükler vardır.

1. Bu terim, verilen bir elektronla etkileşen öteki bütün elektronların durumları bilinirse, ancak o zaman hesaplanabilir.
2. Elektron örgü içinde sabit bir hareket sürdürdüğünden   potansiyeli daima sabittir. Dolayısıyla, bu potansiyelin periyodik olduğu düşünülemez.
3.   hesaplanırken bütün elektronların durumunu aynı anda düşünmek gerekir. Bu ise çok parçacık problemi olarak bilinir.

Yukarıda sıralanan güçlüklerin yanında elektron-elektron etkileşmesinin zayıf oluşu bir çıkış yolu göstermektedir. Bu da kristal potansiyelinde ’nin dikkate alınmayacağını gösterir.

Sonuç olarak; sabit ve periyodik değişkenlerin toplamı yine bir değişkendir ve periyodiktir.

=

=       Kristal Potansiyeli

Kristal Potansiyelinin Oluşumu:

     Elektronların iyon korları ile ve diğer elektronlarla etkileşmesi periyodik bir potansiyel doğurmuştur. Yukarıda bahsettiğimiz periyodik bir potansiyel içinde bir elektronun Schrodinger denkleminin çözümü, bize bu tek elektrona ait kuantum durumunun bir takımını verir. Bu kuantum durumları elektronlar tarafından işgal edilebilir veya Pauli Dışarlama İlkesine uygun olarak diğer elektronlar tarafından doldurulabilir.

“ŞEKİL 4”

     Band yapılarının oluşumunu incelerken, bu şekildeki bir potansiyeli ele alacağız ve kristal içinde enerji-band yapılarının nasıl oluştuğunu inceleyeceğiz. İlk olarak çözüme tek elektron dalga fonksiyonu ile başlayacağız. Tek elektron modeli aynı zamanda Bloch Teoremi (Bloch elektron modeli) olarak ta bilinir. Bu dalga fonksiyonu örgü periyodu ile ilgili bazı önemli özellikler taşır. Bu fonksiyonlar yardımı ile elektronun alabileceği enerji seviyeleri bulunur, elektron bu enerji seviyelerinin bazılarında bulunabilir, bazılarında bulunamaz. Bu şekilde periyodik potansiyele sahip bir sistemde elektronun alabileceği enerji seviyelerinin oluşturduğu yapıya izinli ya da müsadeli enerji bandı denir. Bu bantlar elektronlar için izinli olmayan ve yasak bölge denen (yasak enerji aralığı, enerji gapı) elektronların bulunamadığı bölgelerle birbirinden ayrılmışlardır.

     Enerji seviyelerinin yarılmasının çekirdekler arası uzaklığa bağlı olduğunu söyleyebiliriz. Tek atomun enerji düzeyleri Schrodinger  dalga denkleminin çözümünden elde edilebilir. Molekül oluşturan iki atom yan yana geldiğinde bir atomun elektronu diğerinin potansiyelinden etkilenerek eski düzeyinin bir altında ve bir üstünde yeni enerji düzeylerine sahip olurlar. Böylece kuantum durumlarında yozlaşma gözlenmez.

     Katıyı oluşturmak için yan yana gelen N atom halinde tek atom halindeki her enerji düzeyi N tane enerji düzeyine yarılır. Enerji seviyelerinin yarılması çekirdekler arasındaki uzaklığa bağlıdır. Çekirdekler arası mesafe büyükse yarılma küçük olur. Ayrıca bir atomun enerji seviyelerinin yarılması halinde çekirdeğe yakın olan yörüngelerdeki elektronlar atoma sıkı bağlandığından diğer atomlar tarafından daha az rahatsız edilirler ve bunun sonucunda enerji yarılması az olur. Dış yörüngelerdeki elektronlar ise diğer atomun potansiyelinden daha fazla etkilendiğinden bunların enerjilerindeki yarılmalar da geniş olur. (İçten dışa doğru enerji yarılması genişler, enrji gapı daralır.)

     Her bandın katıdaki atom sayısına yarıldığını söylemiştik. Katının cm³’ünde yaklaşık 10²³ tane atom varsa ve tipik bir bant genişliğini 5 eV alırsak iki enerji seviyesi arasındaki fark   olur. bu kadar yakın enerji seviyelerine kesikli diye bakmak zor olduğundan sürekliymiş gibi kabul edilir.

Bloch Teoremi:

     İzinli enerji bandı içinde olan elektronların dinamik davranışı pek çok açıdan serbest elektronun davranışına benzemektedir. Kristalin iletken veya yalıtkan oluşu sorusuna cevap; tamamen bant içinde bulunan kuantum durumlarının tamammen veya kısmen dolu oluşuna bağlıdır. Kristalin tek elektron modeli (Bloch Teoremi) kristaller için geçerli olan serbest elektron modelinin uygunluğunu bir çok açıdan göstermektedir. Bloch teoremi periyodik kristal potansiyeli altında tek elektron dalga fonksiyonu ile ilgili matematiksel bir ifadedir.

Serbest elektron durumunda  idi o zaman f_(x) = k² = sabit olur.

Tek elektron modelinde kristal içindeki bir elektronun dalga

                                            fonksiyonu

KRİSTAL MOMENTUMU VE ETKİN KÜTLE

Elektronlar için R_H (-) olması etkin kütle ile açıklanabiliyor.

Örgü kuvveti: Kristal potansiyeli ile elektronun etkileşmesi sonucu örgü tarafından uygulanan kuvvettir.

Etkin Kütle: Kristal potansiyeli etkisi altında grup halinde hareket eden elektronların sahip olmuş olduğu kütleye denir.

Kristal Momentumu: Serbest parçacığa etki eden kuvvet sıfırdır. Bu netice bizi elektronun kütlesinin sabit olduğu sonucuna götürür.

     Oysa kristal içinde hareket eden elektron kristal potansiyelinin etkisindedir. Ve bu nedenle elektrona etki eden bir kuvvet vardır. Bu durumda elektronun momentumu sabit değildir. Öyle bir momentum tarifleyelim ki kristal içindeki elektron için sabit olsun. Buna kristal momentumu denir.

  Serbest parçacık için hız ifadesi

  Serbest parçacık için kütle ifadesi

Kristal İçindeki Elektronun Enerji ve Etkin Kütle İfadesi

     Kristal içindeki bir elektronun dış bir kuvvet etkisi altında olduğunu söyleyelim.Kristal içindeki elektronlar için grup hızından bahsedilir.

Grup hızı:        

Momentumu: 

  etkin kütlenin ?’ye bağlı değişimi