Kramers - Kronig bağıntıları, lineer pasif bir sistemde yanıt fonksiyonunun sanal kısmı tüm frekanslarda biliniyorsa reel kısmını (veya tersini) bulma olanağı verir. Bu bağıntılar katılarda optik ölçümlerin analizinde önemli yer tutarlar.

Lineer pasif bir sistemin yanıtı,sönümlü bir harmonik salınıcılar kümesinin yanıtlarının lineer bir kombinasyonu olarak yazılabilir. Salınıcılar kümesinin yanıt fonksiyonu  şöyle tanımlanır.

Burada uygulanan F dış kuvveti,  nin reel kısmı, toplam x yer değiştirmesi  nin  reel kısmıdır. Hareket denklemi              

kullanılarak salınıcılar sisteminin kompleks yanıt fonksiyonu yazılabilir:

Buradaki  kuvvet sabitleri ve  gevşeme frekansları pasif bir sistem için pozitif katsayılardır.

            Kütleleri  olan mekanik bir sistemde  olur. Eğer ,  yoğunluktaki atomların dielektrik polarizabilitesini temsil ediyorsa , salınıcının kuvvet sabiti ile  çarpımına eşit olur; böyle bir dielektrik yanıt fonksiyonu Kramers -Heisenberg yapısındadır denir. Burada geliştirdiğimiz bağıntılar, Ohm yasası  ifadesindeki elektrik öziletkenliği   ya da uygulanabilir.

            Denklem 9 da ki özel yapıya bakmadan, yanıt fonksiyonunu kompleks  değişkenli bir fonksiyon olarak ele aldığımızda üç özelliğe sahip olduğunu görürüz. Bu özelliklere sahip her fonksiyon denklem 11 deki Kramers - Kronig bağıntılarını sağlar.

(a)   nın kutup noktalarının tümü reel eksenin alt bölgesindedir.

(b)  kompleks düzlemin üst tarafında yarıçapı sonsuz bir yarım çember üzerindeki integrali sıfır olur. Bunun için  olurken  nın düzgün olarak sıfıra gitmesi yeterlidir.

 (c)  reel olduğunda   çift fonksiyon,  tek fonksiyondur.

            Cauchy integral formülü yazılırsa

Burada P  işareti, aşağıdaki matematik notta açıklandığı üzere, integralin Cauchy başlıca değerini gösterir. Sağ taraftaki integrali üst yarım düzlemdeki sonsuz yarıçaplı bir çember üzerindeki integralle tamamlamak gerekirdi, ancak (b) özelliğine göre bunun sıfır oluşu nedeniyle yazılmadı.

            Denklem 10 un reel kısımlarının eşitliği yazılırsa

Sağ taraftaki ikinci integralde s yerine  alındı ve (c) özelliğikullanıldı.

Bu son integral

olur ve

kullanılırsa sonuç şöyle olur:

            Bu, Kramers-Kronig bağıntılarından biridir. Diğer bağıntı Denklem 10 un sanal kısımlarının eşitliği yazılarak bulunur.

denklemi düzenlenirse

olur. Bu bağıntılar aşağıda optik yansıma katsayısı analizinde uygulanacaktır; en önemli uygulamaları buradadır.

            Bu bağlantıları, Denklem 1 ve 6 da ki gelen ve yansıyan dalgalar arasında yanıt fonksiyonu görevi yapan  katsayısına uygulayalım. Denklem 11 i  uygulamak üzere

fonksiyonu seçilirse faz fonksiyonu şöyle yazılabilir.

Kısmi integrasyon  sonucu faz fonksiyonuna olan  katkılar şöyle olur:

Yansıma katsayısının sabit olduğu spektrum bölgeleri integrale katkıda bulunmazlar; ayrıca   ve  olan bölgelerde  fonksiyonu küçük olduğundan, bunlarda katkıda bulunmazlar.

Şekil 2: Cauchy başlıca değeri integrali için kapalı eğri.

Denklem 10 da ki Cauchy integralini bulmak için  İntegrali şek.2 de gösterilen kapalı eğri üzerinden alınır.  fonksiyonu üst yarım düzlemde analitik olduğundan integralin değeri sıfırdır. Eğer olduğunda  integrandı  den daha hızlı sıfıra gidiyorsa , 4 nolu eğri parçasının katkısı sıfır olur. Denklem 9 da ki  yanıt fonksiyonu  gibi sıfıra gitmektedir;  öziletkenliği de  şeklinde sıfıra gider.  yazılırsa,  limitinde 2 nolu eğri parçasının integrale katkısı

olur. 1 ve 3 nolu parçaların toplamı, tanım olarak,  ile  arasındaki integralin   başlıca değeridir. toplamı üzerindeki integral sıfır olduğundan denklem 10 da ki sonuç elde edilir:

Bir serbest elektron gazını çarpışma frekansının sıfıra gittiği durumda göz önüne alalım. Denklem 9 da alınırsa yanıt fonksiyonu

olur. Son eşitlikte Dirac özdeşliği kullanılmıştır. Denklem 16 nın delta fonksiyonlu sanal kısmının Denklem 11 a  daki Kramers-Kronig bağıntısı sağlamasını istersek

olup, beklendiği gibi Denklem 16 da ki reel kısmı buluruz.

Öz iletkenliği bulmak üzere  dielektrik fonksiyonunu yazalım:

Burada yanıt fonksiyonu  olur. Maxwell denklemi  veya  olarak yazılabileceğinden        

olur. Denklem 16, 18 ve 19 birleştirilirse çarpışmasız elektron gazının öziletkenliği yazılabilir.

Çarpışmasız elektron gazında öziletkenliğin reel kısmı  değerinde delta fonksiyonu içerir.

Öncesi:optik sürecler