Giriş:

           Şimdiye kadar elektromagnetizmanın dört temel denkleminden üçünü türettik. Birinci bölümdeki elektrostatik bilgilerimize göre

                                                                                                             (1)

dir. için buna karşı gelen denklem

                                                                                                                   (2)

gibidir. Beşinci bölümde zamanla değişen akımlar için

                                                                                                            (3)

olduğunu görmüştük ve üçüncü bölümde için buna karşı denklemin kararlı akımlar özel durumunda

                                                                                                              (4)

bağıntısının geçerli olduğunu gördük.  denkleminin zamanla değişen akımları etkilerini içermesi gibi, (4) bağıntısı da bütünüyle genel değildir. (4) denklemi ile ifade edilen Ampere Yasasının, zamanla değişen elektrik alanlarının katkısını da içererek şekilde nasıl değiştirileceği Maxwell tarafından gösterilmiştir. Maxwellin keşfinin en büyük zaferi, bu dört denklem,in uygun sınır koşulları altında elektromagnetik dalgaları verecek şekilde çözülebilmesidir. Bu dalgalar boşlukta ışık hızıyla ilerler ve bu da gözle görünür ışığın elektromagnetik doğasını ortaya koyar.

Süreklilik Denklemi:

            Bu güne kadar elde edilen bütün deneysel veriler elektrik yükünün yaratılamayacağını veya yok edilemeyeceğini göstermektedir. Bu “elektrik yükünün korunumu” yasası  matematiksel olarak “süreklilik denklemi” şeklinde ifade edilir: kapalı bir S yüzeyinin V hacmini sardığını varsayalım. Elektrik yükünü yaratılamayacağı veya yok edilemeyeceği için, S yüzeyinden elektrik yükünü geçiş hızı, (yani akı) V hacmindeki elektrik yükleri azalması hızına eşit olacaktır. S yüzeyi boyunca akı tanımını kullanarak

                                                                                              (5)

yaratabiliriz. İntegrasyon yüzeyi zamanla değişmediği için (5) bağıntısının sağ yanındaki integral ve türevin sarımını değiştirebiliriz:

Buradan da diverjans teoremini kullanarak ilk tarafındaki yüzey integralini hacim integraline çevirebiliriz.

Bu hesaba herhangi bir keyfi S ve V hacmi için yaptığımızdan eşitliğin sağlanması amaçlı integrantların eşitliği ile olur:

                                                                                                          (6)

Bu bağıntıya “süneklilik denklemi” adı verilir. Bu bağıntı elektrik yükü korunumun yasasının matematiksel ifadesidir. Karalı akımlar için dır.

            Yerdeğiştirme Akımı:

            Maxwell çalışmalarında süreklilik denklemi ile  Ampere yasasının zamanla değişen akımlar için uyumlu olmadıklarını anladı (6.4) bağıntısının her iki yanının diverjansını alırsak

yazılabilir,  bu denklemin sol yanı özdeş olarak sıfırdır, yük yoğunluğunun değişim hızının sıfır olmadığı durumlarda Ampere yasası süreklilik denklemi ile çelişkilidir. Maxwell Ampere yasasının

şeklinde yazılması gerektiğini varsaydı, burada  şu anda bilinmeyen bir vektördür. Bu vektörün ne olduğu hakkında bir tartışma aşağıdaki gibidir:

Elektrik yerdeğiştirme vektörü  cinsinden Gauss teoremi

ifadesini (6.6) bağıntısı ile birleştirirsek

ve buradan

sonucuna varılabilir. Bu sonuç,  diveryansı daima sıfır olan bir vektör olmak üzere  olacağını vurgular. Ancak buradan statik olamayan bir sonucu  elektrostatik bağıntısından türetildiğine dikkat etmeliyiz.

                                                                                                (8)

bağıntısının doğruluğunu ortaya koyan birçok mantıklı tartışma olmasına rağmen, mutlak geçerliliğinin ispatı yoktur. (8) bağıntısının doğru olduğu varsayımı ile başlayan bütün hesaplamalar deneysel sonuçlarla uyuşur.

            Yukarıdakine paralel değişiklik bir tartışma yanda ki şekil üzerinde yapılabilir. Devreden dolayısıyla devre üzerindeki kondansatörden bir alternatif akım geçmektedir, ancak kondansatörün plakalar arasından hiç yük geçmez. Devreden geçen akım I ise, Devrenin herhangi bir parçasının içinde

Alan kapalı bir eğri boyunca

bağıntısı geçerlidir. Böylece şekildeki A eğrisi boyunca Ampere devre yasası

olur , fakat aynı A^¢ içinden hiç akım geçmemektedir. Bu tutarsızlık ancak, denkleme yeni bir kondansatör için

yazılabilir ve levhalar üzerindeki yük yoğunluğunun değişimi akım yoğunluğu verecektir,

böylece

eşitlikleri, plakalar arasındaki boşlukta hareket eden hiçbir yük olmamasına rağmen   gibi yasalardan bir akım yoğunluğu teriminin varlığını ima ederler.

            ye “iletim akımı” denir, çünkü Ohm yasası ve uyan bir iletken için c elektriksel iletkenlik olmak üzere  bağıntısı geçerlidir. (Genel olarak bu bağıntının bir tensör bağıntısı olacağına dikkat ediniz.)  akım yoğunluğunu “yer değiştirme akımı” adı verilir.

            Serbest yüklerin hareketli olduğu durumlarda yer değiştirme akımları önemli bir rol oynamazlar, ancak   olduğu hallerde problemdeki yegane akım yoğunluğudur. İlerde yer değiştirme akımının varlığının boşlukta elektromagnetik radyasyonun ilerlemesini sağlayacağını göreceğiz.  alanları cinsinden Maxwell denklemlerinin bir özeti diferansiyel denklemler cinsinden

                                                                            (6.9)

                                                                 (6.9)

veya bütünüyle eşdeğer integral denklemler cinsinden

                                          (10)

şeklinde yazılabilir. Buradan sonraki hesaplarda genellikle (9) diferansiyel bağıntıları ile çalışacağız. Ancak, ifade şekilleri ve olursa akım, Maxwell denklemlerinin  yi doğrudan vermeyeceğini anlamak önemlidir.  yi bulmak için (9) ve (10) denklem takımları uygun sınır şartları altında çözülmelidir. Bu çözümlerin bulunabilmesi için

gibi bilgi verici bağıntılara ihtiyaç vardır. Formüle edildiği şekilde, denklemler gözlemciye göre hareketsiz ortamlar için geçerlidir: hareketli ortamlar için

bağıntısının yeniden yorumlanabilmesi gereklidir. Maxwell denklemlerinin Lorentz dönüşümleri altında değişmez olmasına rağmen bu yeniden yorumlanma gereklidir.

            Maxwel denklemleri her türlü madde içindeki bütün elektromagnetik olaylara uygulanabilir. İki ve dördüncü bölümlerde geliştirilen tartışmaları izleyecek dielektrik ve magnetik maddelerle ilgilenirken, (9) ile verilen Maxwell denklemlerinin diferansiyel formlarının serbest yük ve akımlar cinsinden ifade etmek kullanışlı olur. Aşağıda verilen denklemleri doğruluğunu göstermeyi öğrenince problem olarak bırakıyoruz:

                                                                (11)

(9) ve (11) denklem takımları bütünüyle doğrudur: onlarla ilgili olan bilgi verici bağıntılar hakkında hiçbir varsayım yapılmamıştır. Ancak klasik elektromagnetizma görüş açısına göre diferansiyel hacim elemanlarının homojen olduğunu yani yeteri kadar büyük veya düzgün bir şekilde ortalama alındığını varsayıyoruz. Bir baka deyişle moleküler yapının ince ayrıntılarını ihmal ediyoruz.

            Kabaca söylemek gerekirse, moleküler yük dağılımları kuantum mekaniği yasalarına göre hesaplanmalıdırlar. Moleküler yük dağılımı biliniyorsa, Maxwell denklemleri uygulanabilir.    moleküler alanları (9) bağıntılarına benzer bir denklem takımına uyarlar:

(9) makroskopik diferansiyel bağıntıları, bu denklemlerden, makroskopik anlamda çok küçük, fakat çok sayıda molekülü içine alan hacim elemanları üzerinde ortalama alınarak elde edilebilirler.

            Bu noktada Maxwell denklemlerinin fizik içeriğini hatırlamak yararlı olur.

            Elektrostatikteki ters kare yasası (r 1/r²) Gauss teoreminin temelidir:   problemde dielektrikler var ise, bir   kutuplanması oluşmasına neden olurlar ve de elektrik örneğin dışındaki etkilerin hesaplanması amacı için  kutuplanması gibi bir hacimsel yük yoğunluğuna eşdeğerdir.

            Gauss teoreminin serbest yükler için yeniden yazılabilmesi için elektrik yer değiştirme vektörü  tanımlanır, böylece Gauss teoremi

olarak ifade edilir.

            bağıntısı veya onun eşdeğer integral formu  ifadesinin fiziksel yorumu, doğada  kaynağı yani magnetik monopollerin olmamasıdır.   bağıntısı basitçe zamanla değişen magnetik indüksiyonun bir elektrik alanı oluşturacağını söyler.

            Kararlı akımlar için Amper yasası  üzerinden kararlı akımlar geçen küçük akım halkalarının birbirlerine, iki doğal mıknatıs arasındaki kuvvete benzer kuvvetler uyguladıklarını gösteren deneylerin sonuçlarını özetler. magnetizasyonuna sahip magnetik maddeler için, Ampere yasasının serbest akımlar cinsinden yazılabilmesi için magnetik alan vektörü  tanımlanır ve yer değiştirme akımım da hesaba katılarak

yazılır.

Boşlukta Elektromagnetik Dalgalar:

           Bu kesimde Maxwell denklemlerinin boşlukta ışık hızıyla ilerleyen elektromagnetik dalgaların varlığına karşı gelen çözümlerinin varlığını göstereceğiz. Boşlukta hiçbir yük ve akım yoğunlukları olmadığından (9) denklemleri

                                                                                                                   (12)

                                                                                                                   (13)

                                                                                                            (14)

                                                                                                      (15)

şeklini alırlar. (6.14) ve (6.15) bağıntısının her iki yanının rotasyonellerini alırsak

                                                                                                (16)

                                                                                          (17)

ve bu bağıntıların sağ yanlarındaki zamana ve uzay koordinatlarına göre alınan diferansiyellerin sırasını değiştirerek.

                                                                                (18) 

                                                                          (19)

yazılabilir. (15) ; (18) in sağ yanında, benzer şekilde (14) ü (19) un sağ yanında yerine koyar ve

rot rot = grad div - Ѳ

vektörel özdeşliğini kullanırsak

ve boşlukta olduğundan

                                                                                        (20)

                                                                                        (21)

şeklinde ve için dalga denklemlerine verilir. Bu bağıntıların  ve  nin her bir bileşeni için geçerli olduğunu dikkat ediniz.

Bu dalgaların  yayılma hızı (e_om_o)<^-1/2 dir. m_o sabiti 4p 10^-7 H m^-1 olarak tamamlanmıştır ve boşluğun geçirgenliği e_o elektrostatik ölçümlerde 8.85418717 ...10^{-12 F m-1} olarak bulunmuştur, bundan (e_om_o)^-1/2 = 2,998 10⁸ m/su, başlıkta ışığı yayılma hızı olarak bulunur. Bundan başka Maxwell denklemlerine göre, bütün elektromanyetik dalgalar boşlukta yok hızı ile ilerlerler. Yerdeğişterme akımı terimi olmasaydı, (15) de olacağı için Maxweel denklemlerinden elektromanyetik dalga çözümlerinin elde edilmeyeceğine dikkat ediniz.

Bu bölümde bu noktadan sonra elektromanyetik dalgaları tartışırken yerine  vektörünü kullanma geleneğini sürdüreceğiz. Bunun nedeni enerji ilerlemesinin incelenmesinde, değil de  nın özel bir anlamı olmasıdır. Şimdi (20) ve (21) dalga denklemlerinin çok basit bir çözümünü inceleyeceğiz: düzlem dalga (6.7 kesimindeki “zayıflayan dalga” ile birlikte kurulacak). Düzlem dalga, yayılma doğrultusuna dik bir düzlem boyunca bütün noktalarda dalga fazının aynı olduğu bir dalgadır. Önce bu tür dalgaların, ilerleme doğrultusuna dik olarak titreşen elektrik ve magnetik olayların enine titreşimleri ile oluşabileceklerini göstereceğiz: elektrik alan vektörü

                                                                                  (22)

olarak verilen z-ekseni boyunca ilerleyen monokromatik (tek frekanslı) bir düzlem dalgayı ele alalım, burada k= w/c dalga sayısı, w= 2 pn açısal frekans ve keyfi sabit genlik vektörüdür. İleride dalganın ilerleme yönü olarak z-eksenini seçmenin genelliği bozmayacağını göreceğiz. Önce ’un xy-düzlemi içinde olması gerektiğini göstereceğiz. (12) bağıntısı olduğunu söyler ve  vektörünün büyüklüğü sabit olduğuna göre

olacaktır. Buradan ¶ t₂ / ¶z=0 olması yani, nin z-bileşeninin z-den bağımsız olması gerekir. (22) bağıntısına göre bu şart ancak E_z=0 olması ile sağlanabilir. Böylece  z-eksenine yani dalganın ilerleme doğrultusuna dik olur. Benzer bir tartışma magnetik alan vektörü için de geçerlidir. f ile arasındaki faz farkı olmak üzere (henüz hesaplanmamış)

           )                                                                            (23)

olarak alırsak _o da ilerleme doğrultusuna dik olur. Hesaplamalar kolaylaştırmak için, genelliği kaybetmeksizin _o ın x-ekseni boyunca olduğunun varsayalım:

           =E_o expi (kz-wt)

Şimdi  ve  arasındaki faz farkının sıfır olduğunu gösterelim.

olduğuna göre

her iki tarafın zamana göre integralini alırsak

veya, olduğuna göre

c=w/k olduğundan

                                                                            (24)

elde edilir. Bu, çok önemli bir sonuç olan, elektrik ve magnetik alanların aynı fazda titreştiğini gösterir. (24) denklemi c=1/(e_om_o)^1/2 olduğundan

                                                                  (25)

şeklinde de yazılabilir ve buradan

                                                         (26)

olur. ve birbirlerine diktirler ve x dalganın ilerleme doğrultu ve yönündedir. Elektrik ve magnetik alanların oranı (m_o/e)^1/2 dir. (6.25) VE (6.26) bağıntıları  ve cinsinden

y

x

şeklinde yazılabilir. Buradan elektrik alanının magnetik indüksiyona oranının ışık hızına eşit olduğunu görürüz.

Radyasyonun birim vektörü ile verilen bir doğrultu boyunca ilerlediği genel durumda monokromatik radyasyonu temsil eden (25) ve (26) bağıntılarının benzerleri

                                                                 (27)

                                                                           (28)

                                             (29)

şeklindedir.

Polarize Radyasyon

Şimdiye kadar (6.20) ve (6.21) dalga denklemlerinin en basit çözümleri olan polarize düzlem radyasyon çözümlerini tartıştık. Aslında genel çözüme varmak için bu yeterlidir, çünkü dalga denklemleri x ya göre lineerdirler: bu nedenle örneğin (21) denkleminin iki ayrı çözümü ise, yani

ise

olarak nin herhangi bir lineer kombinasyonu da (6.21) denkleminin bir çözümü olacaktır. Doğal olarak aynı sonuçlar alanı içinde geçerlidir. Bu şekilde bir monokromatik elektromanyetik dalga farklı genlikle ve f_j fazlı birçok bileşenin üstüste gelmesi olarak kurulabilir:

                                                                     (30)

ve ’nin (veya ın) kompozisyonu “radyasyonun polarizasyon durumu” olarak isimlendirilir. Dersimiz içinde önceden z-ekseni boyunca ilerleyen ve elektrik alanı xz-düzlemi içinde titreşen monokromatik dalga için

=

bağıntısını görmüştük. Bunun geliri bir radyasyona “çizgisel (lineer) polarize radyasyon” adı verilir. Elektrik alanı z-eksenini içine alan herhangi bir düzlem içinde kalan bir çizgisel polarize, monokromatik dalga

                                                                  (31)

olarak iki bileşene ayrılabilir, bu bileşenler birbirlerine dik aynı fazlı iki çizgisel polarize dalgaya eşdeğerdirler. Elektrik alanı

                                  (32)

şeklinde verilen dalga “eliptik polarize radyasyon adını alır: dalga z-ekseni boyunca ilerledikçe nin doğrultusu, vektörün ucu bir elips üzerinde kalacak şekilde değişir. E_ox = E_oy özel durumunda  nin ucu bir çember çizer ve bu tip radyasyona “dairesel polarize radyasyon” adı verilir.

Gelişigüzel polarize veya polarize olmamış dalga, nin doğrultusu zamanla rastgele değişen bir dalgadır

 Madde İçinde Elektromagnetik Dalgalar

Madde içinde elektromagnetik dalga problemi çok karmaşık bir şekil alır. İlk olarak lineer, homojen izotropik bir ortam ele alacağız. (bir ortamın özellikleri noktadan noktaya değişmiyorsa homojendir, özellikleri bütün doğrultularda aynı ise izotropiktür ve ve vektörleri ile dış alanlar arasındaki bağıntılar lineer ise lineerdir.) Ayrıca ortamın iletken olmadığını yani olduğunu varsayalım. (9) Maxwell denklemlerinden yola çıkarak ve 6.4 kesimindeki tartışmaları tekrarlayarak ve

bağıntılarını kullanarak

                                                              (33)

ve

                                                                                         (34)

bağıntılarına varırız. Bu iki denklem benzer yapıdadırlar, ancak (34) bağıntısında r_s li terime karşı gelen terim yoktur çünkü magnetik yük yoktur. Basitlik amacı ile z-ekseni boyunca ilerleyen bir düzlem dalgayı ele alırsak, buradan

bulunur. Böylece (6.33) için dalga denklemi

olur. Bu denklemde boyuna bileşen E_z

yani

                                                                                                (35)

eşitliğini sağlamalıdır. Bu diferansiyel denklemin çözümü a ve b integrasyon sabitleri olmak üzere E_z=a+bt gibidir. Bu çözüm a=b=0 yani E_z=0 olmadıkça bir dalga çözümünü vermez. Benzer bir tartışma nın yayılma doğrultusu boyunca bileşiminin sıfır olacağı yani nın “enine” bir dalga olacağı gösterilebilir, gerçekte herhangi bir homojen, lineer, izotropik, iletken olmayan bir ortamda düzlem elektromagnetik dalgalar eninedir. 6-5 kesiminde verilen tartışmaları tekrarlayarak ve  vektörlerinin birbirlerine dik olacaklarını ve x nın dalganın ilerleme doğrultusunda olacağını gösterebiliriz. (35) ifadesini (33) de yerine koyarsak bu dalgaların yayılma hızının

                                                                                 (36)

olacağını görürüz. e_r=m_r=1 olan boşlukta dalgaların yayılma hızı c, yığın boşluktaki yayılma hızına eşit olur. Magnetik olmayan bir ortamda (m_r=1), elektromagnetik dalgaların yayılma hızının c’ye oranına ortamın kırılma indisi n adı verilir, böylece

olur. Ancak gerçekte e_r ve dolayısıyla n kullanılan radyasyonun frekansına bağlı olarak değişir. Bu özellik, konuyu ele alma biçimimiz içinde kendini göstermez; bu özelliği görebilmek için dielektrik maddenin moleküller yapısını ayrıntılı olarak incelemek gereklidir.

Yukarıda verilen tartışma idealize, limit durumları ele almaktadır. Gerçek bir ortamda Maxwell denklemlerini çözme işlemi çok karmaşık bir problemdir. Bu nedenle tartışmayı, herhangi bir izotropik homojen lineer iletken ortamda Maxwell denklemlerinin çözümleri üzerinde birkaç söz daha ederek kapatacağız. Böyle bir durumda yeni bir özellik “zayıflama” ortaya çıkar. Ohm yasasına uyan bir iletken için olarak verilir ve Maxwell denklemleri

ve

dalga denklemlerini verir. Bu denklemlerin çözümlerini ayrıntılı olarak vermeden yalnızca bazı özelliklerini özetleyeceğiz. Elektrik ve magnetik alanlar burada da dalgaların temel özelliklerine sahiptirler, fakat örneğin elektrik alan vektörü

olarak değişir, burada dır.

Dalga ilerledikçe elektrik (ve magnetik) alan vektörünün genliği üstel olarak küçülür, bu olaya “zayıflama” adı verilir. Bir elektromagnetik dalga iletken bir ortam içinde “zayıflama” olmadan ilerleyemez.

y

z

 x

Zayıflama

6.7. Elektromagnetik Dalgalarla Enerji Taşınması

Önceki bölümlerde statik elektrik alanı ile ilgili enerji yoğunluğunun

                                                                                                 (37)

ve magnetostatik alanla ilgili enerji yoğunluğunun

                                                                                             (38)

olarak verildiğini görmüştük. Bu bağıntılar geneldirler, çünkü onları türetirken bilgi verici bağıntılarla ilgili hiçbir varsayım yapılmamıştır. Bu nedenle elektrostatik ve magnetostatik alanların herhangi bir kombinasyonu için, toplam enerji

                                                                                  (39)

olur, burada V alanları kapsayan hacimdir. Alanların zamanla değiştiği durumlarda da (39) bağıntısı geçerlidir.

Elektromagnetik dalgalar zamanla değişen elektrik ve magnetik alanlardan oluştuklarından bu dalgalarla ilgili enerjiyi hesaplayabiliriz. Elektromagnetik dalgaların  vektörü doğrultusunda ilerlediğini bildiğimiz göre,  vektörü ile e.m dalgaların enerjisi arasında fiziksel bir bağıntı olacağını bekleyebiliriz.

 vektörünün herhangi bir kapalı S yüzeyi boyunca akışını hesaplayalım;

                                                                                     (40)

burada son eşitlik diverjans teoremi yardımı ile yazılmıştır.

vektör özdeşliğini kullanarak

ve

olduğundan, olan boş uzayda

                                                     41)

sonucuna varırız.  vektörünün kapalı bir S yüzeyi boyunca akışı, S yüzeyi ile sınırlı V hacmi içindeki enerji azalma hızına eşittir.

vektörüne “Poyuting Vektörü” adı verilir. Poyuting vektörünün kapalı bir yüzey üzerinden integrali, bu yüzeyden dışarı doğru e,m. dalgaların enerjisi çıkış hızına eşittir. Sinüsvidal olarak değişen alanlar için nin ortalama değeri

olur, 1/2 çarpan sin² x’in bir peryot boyunca ortalaması olarak ortaya çıkar.

. Potansiyeller İçin Dalga Denklemleri

Birinci ve üçüncü bölümde belirtildiği gibi temel elektromagnetik alan denklemleri V ve skaler ve vektör potansiyel cinsinden yazmak çoğu zaman kullanışlı sonuçlar verir. Alanlar ve potansiyeller arasıdaki bağıntılar

                                                                                             (43)

şeklindedir. ve için yazılan (8) denklemlerinden yola çıkar ve (43) bağıntısını Gauss teoreminde kullanırsak

                                                                             (44)

alanı için

                                                 (45)

Önceden belirtildiği gibi bağıntısı ile vektör alanı tek olarak tanımlanamaz. Bu nedenle

                                                                                            (46)

olmak üzere uygun bir ayar seçimi yapabiliriz, buna “Lorentz ayarı” adı verilir. Bu seçimle (44) ve (45) denklemleri

                                                                               (47)

                                                                                (48)

şeklini alır ve r=0 ve olan boş uzayda önceden gördüğümüz dalga denklemlerini elde ederiz.

(6.47) ve (6.48) denklemleri d¹ Alembertiam operatörü

&127;²

cinsinden daha derli toplu biçimde yazılabilir:

&127;²           &127;²V=-r/e_o                                                                  (49)

Bu denklemler (1.38) de verilen Poisson denklemine benzer yapıdadırlar.

 Gecikmiş Potansiyeller

(6.47) ve (6.48) de verilen ve V için dalga denklemlerinin ciddi bir eksik yanları vardır, bu bağıntılar elektrik ve magnetik alanların sonlu yayılma hızını hesaba katmamaktadır. Bir sonraki bölümde göreceğimiz gibi, bu alanlar boşlukta ışık hızıyla ilerlerler. Birinci ve üçüncü bölümde statik durumda potansiyeller için

                                                                                (.50)

                                                                       (51)

ifadelerini bulmuştuk. Potansiyeller için genel ifadeler bütün zamana göre türevler sıfır olduğu zaman (50) ve (51) bağıntılarına indirgenmelidirler. Elektrik yük yoğunluğunun zamanda değiştiği durumu göz önüne alalım;alanlar ışık hızıyla yayıldıkları için r daki değişim  alan noktasında kendini, değişimden /c süre sonra belli edecektir. Bu süre elektromagnetik alanın  uzaklığını aşması için geçen süredir. Böylece  noktasındaki potansiyel V( ) ye t anındaki katkı, yük yoğunluğunun t- /c anındaki durumundan gelecektir ve (6.50) bağıntısı bu özelliği içerecek şekilde değiştirilmelidir.

                                                       (52)

için de benzer bir ifade yazılabilir. ve  potansiyellerine gecikmiş potansiyel demir ve değişkenlerin gecikmiş değerlerini göstermek için daha kısa bir notasyon kullanılarak da yazılabilirler:

Örneğin

                                                                           (53)

noktasındaki, oranındaki yük yoğunluğu  değerini temsil etmek üzere (52) bağıntısı

şeklinde yazılabilir, burada V^¢ üzerinden integral t anından süre önceki  ile alınmalıdır. Genel olarak gecikmiş potansiyeller için genel ifadeler vermek çok zor bir olaydır, ancak bazı durumlarda gecikme etkileri ihmal edilebilirler.

 Dipol Radyasyonu

Şekilde görülen, aralarında  d uzaklık bulunan eşit miktarda ±Q yüklerinden oluşan basit titreşen dipolü ele alalım. Dipolü oluşturan yükler w açısal frekansı ile zamanla hormonik olarak değişmektedir. Böyle bir dipole “Hertzian assilatör” adı verilir ve şimdi böyle bir dipolün nasıl elektromagnetik dalgalar yayınlayacağını göreceğiz.

Q=Q_o exp (iwt) olarak alınırsa  elektrik dipol momenti tanımından olmak üzere

                                                                                           (54)

olarak verilir. Önce kesim 1.6 da olduğu gibi küçük dipol yaklaşımı yaparak hentzion dipol için gecikmiş potansiyelleri hesaplayacağız. Bu durumda alan noktası r>> d olacak şekilde seçilecek ve buna ek olarak titreşim ile ilgili dalga boyu l=2pc/w nin dipol boyutlarını kıyasla büyük olması (l>>d) basitleştirici şartın da isteyeceğiz. Elektromagnetik dalgaların boşlukta yayıldıklarını varsayarak gecikmiş potansiyel V

                                        (55)

olarak verilir. Böylece ±Q yükleri, alan noktasından büyüklüğün yanısıra faz olarak da farklı skaler potansiyeller verirler. Yukarıdaki ifadedeki üstel fonksiyonları ve paydaları seriye açarak V potansiyelini hesaplamak mümkündür, ancak bu işlem sırasında birbirlerine çok yakın skaler terimleri ele alırken hata yapmamak için çok dikkatli olmak gerekir. Dipol radyasyon hesabı genellikle önce nın bulunması ile başlar.  bulunduktan sonra bağıntısı yardımı ile magnetik indüksiyon,

Lorentz şartı yardımı ile skaler potansiyel, ve

ifadesinden hesaplanır. Hentzion dipol için bu hesaplar yapıldığında, hücresel koordinatlarda

H_r=0,   H_q= 0                                                                                                 (56)

ve

E_f= 0

                                                         (57)

olarak bulunur, burada k=w/c, [t]= t - r / c dir.

Bu ifadelere “Hertz bağıntıları” adı verilir. Alan noktasının dipole yakın veya dipolden çok uzakta olması durumlarda ve nin limit davranışları incelemek çok bilgi vericidir. r<<l (veya kr<<1) olan noktalara “yakın bölge”, kr>>1 olan noktalara ise “uzak bölge” veya “radyasyon bölgesi” adı verilir.

Yakın bölgede

,            ,                                  (58)

gibidir. Bu bağıntılara göre elektrik alanı basitçe başlangıç noktasında bulunan elektrik dipolünün oluşturduğu alan olarak karşımıza çıkar. Dipol titreşen bir dipol olmasına rağmen, alan noktası çok yakın olduğu için gecikme etkileri ihmal edilebilir.  magnetik alanı

olarak yazılabilir.

Radyasyon bölgesinde baskın terimler

                                                                          (59)

                                                                      (59)

gibidir yani kaynaktan uzak noktalarda elektrik ve magnetik alan eninedir ve 1/r ile orantılı olarak genlikleri küçülür. 1/r bağımlılığı doğrudan gecikmenin sonucudur ve bu özellik biri enerjisi korunumuna götürür.

ve yı radyasyon bölgesinde ele alırsak (6.59) bağıntıları nin dipol doğrultusunun içine alan bir düzlem içinde kaldığını ve nın bu düzleme dik olduğunu görürüz.

E/H = (m_o/e_o)^1/2

oranı boşluktaki elektromagnetik düzlem dalga alanları oranına eşittir ve alanlar arasında faz farkı olmadığı için boşlukta yayılan elektromagnetik radyasyonun bütün özelliklerini taşırlar. Hentzion dipolünün elektromagnetik radyasyon yaydığı, Poyuting rektörünün, merkezinde dipol bulunan kapalı bir yüzey boyunca akışı hesaplanarak doğrulanabilir. Bu büyüklüğü hesaplarken bazı noktalara dikkat etmeliyiz, fiziksel ve alanları (59) gibi bağıntıları gerçek kısmına eşittirler ve bu nedenle zamanla cos w [t] olarak değişirler, böylece

~E_o H_o cos² w [t]

ve bir tüm peryot boyunca Poyuting vektörünün ortalaması

olur. Yakın bölgede ve radyasyon bölgesinde geçerli alanı < > ortalama değeri

                                                                                (60)

olarak verilir ve yalnızca radyasyon terimlerini içerir. Dipolün ekseni boyunca enerji akışı sıfırdır ve radyasyon bölgesinde E ve H 1/r ile orantılı olarak azaldıkları için Poyuting vektörü 1/r² ile orantılı olarak azalır. 1/r² bağımlılığı enerjinin korunacağını söyler, merkezinde dipol bulunan herhangi bir küre yüzeyi boyunca Poyuting vektörünün akışı

olarak hesaplanabilir, toplam akış w ve p_o’a bağlıdır ve r den bağımsızdır.