Dalga hareketi ile ilgili bütün önceki deneyimler dalgaların ilerleyebilmesi için bir ortamın olması gerektiğini göstermiştir. Önceki bölümde Maxwell denklemlerini boşlukta c=(e_om_o)^-1/2 hızıyla ilerleyen elektromagnetik dalgaları tasvir eden çözümlere sahip olduklarını gördük. Bu nedenle, bütün evrenin (boşluk dahil) bu dalgaların ilerlemelerini sağlayarak bir cins çok hafif bir madde ile dolu olduğunu varsaymak doğaldı. Maxwell bile böyle bir ortamın gerekliliğini karar vererek ona “ether” adını verdi. Ancak böyle bir ortamın varlığı, bu ortamın durgun olduğu bir tercihli referans sistemi olmasını gerektirdiğinden problem yaratıyordu.

Newton hareket yasalarının Galilei dönüşümleri altında değişmez oldukları bilinmektedir. Galilei dönüşümleri birbirine göre hareketli alan referans sistemleri arasındaki geçiş bağıntılarıdır.

Örneğinå durgun bir referans sistemi, å^¢å ya göre x-ekseni boyunca  hızıyla hareket başka bir referans sistemi olsun. İki sistemdeki koordinatlar ve zamanlar arasındaki bağıntılar Galilei dönüşümü ile verilir:

x¢ = x – ut,       y¢=y ,               z¢=z,                t¢=t                                          (.1)

Newton’un temel hareket yasaları å ve å¢ sistemlerinde aynı formdadırlar. Gerçekte, herhangi bir ve referans sisteminin mutlak hızını mekaniksel deneylerle tayin etmek mümkün değildir.

Galilei dönüşümleri altında Maxwell denklemleri nasıl dönüşür. Dersimiz içinde alan dönüşüm denklemlerini henüz vermedik, ancak boşlukta tek bir bileşeni için yazılan dalga denkleminin durumuna bakarak bu soruya indirekt cevap verebiliriz. j bir alan bileşimi olmak üzere

                                                                                   (.2)

gibidir.

ifadesini (7.2) de yerine koyar ve (7.1) kullanarak  v.s. hesaplarsak üslü koordinatlara göre dalga  denkleminin (.2) ile aynı formda olmadığını görürüz. Bu, mekanik dalgalar için doğru olduğunu bildiğimiz, dalga hareketinin durgun bir ortama göre sabit hızla ilerlemesi gerçeğini matematiksel ifadesidir. Dalgaları taşıyan durgun ortama göre hareket eden bir referans sisteminde dalgaların yayılması çok karmaşık gözükür. Sonuç olarak Galilei dönüşümleri altında Maxwell denklemlerinin formlarının aynı kalmayacağını söyleyebiliriz.

Bu durumda elektrik ve magnetizma yasaları hakkında ne söylenebilir? Konu Lorentz ve Poiaca’re ve özellikle 1905 yılında Einstein tarafından açıklığa kavuşturulmadan önce çeşitli fikirler ortaya atılmıştır. Bu fikirler özetle;

1) Maxwell denklemleri elektromagnetizmayı açıklamak için yeterli değildirler.

2) Ethere göre durgun olanı bir tercihli referans sistemi vardır. Maxwell denklemleri bu referans sisteminde doğrudur, ancak diğer referans sistemleri de Maxwell denklemlerini düzeltmek gerekir.

3) Maxwell denklemleri birbirlerine göre sabit hızla hareket eden bütün referans sistemlerinde aynı forma sahiptirler. Galilei dönüşümleri elektromagnetik etkilerin işe kavuştuğu durumlarda bir referans sisteminden diğerine geçişi sağlamakta yetersiz kalırlar.

Bugün bu fikirlerden sonuncusunun doğru olduğunu ve onun “görelilik ilkesi”nin kısmi bir ifadesi olduğunu biliyoruz. Maxwell denklemlerinin öngörüleri bu azından çevrenin gözleyebildiğimiz bölümü içinde deneysel olarak doğrulanmıştır ve mutlak ether çerçevesinin bulunması denemeleri başarısızlıkla sonuçlanmıştır. “Ether hipotezi” ni tamamen dışarlayan ve bizi göreliliği kabule zorlayan tek bir deney yoktur, ancak çok sayıda deneylerin sonuçları görelilik hipotezi ile uyumludurlar. Bu deneylerden en önemli üç tanesi şunlardır:

1.     Yıldız ışıklarının kayması (uzak yıldızların görünen konumlarını yerkürenin yörüngesel hareketi doğrultusunda küçük yerdeğiştirmeleri)

2.     Hareketli sıvılar içinde ışık hızını ölçülmesi (Fizeau 1859)

3.     Michelsou-Morley Deneyi (1887)

Michelson-Morley deneyinde mutlak referans sistemine (bu sistemde ışık dalgaları c hızıyla yayılırlar) göre yerkürenin hızı ölçülmeye çalışılmıştır. Deneyin sonuçları bir mutlak referans sistemi olmadığını veya dünyanın herzaman bu referans sistemi ile beraber hareket edeceğini göstermektedir. Bu deney kendi başına “mutlak ether sistemi hipotezi”ni çürütmektedir, çünkü yerkürenin hızı güneş çevresindeki hareketi sırasında sürekli değişmektedir. Ancak dünya, çevresindeki etheri de yanısıra sürükleyerek hareket ederse bu mümkün olabilir, yani yerküre gibi büyük kütleli gök cisimleri belki hareketleri sırasında çevrelerindeki etheri beraberlerinde sürükleyebilirler.

Öte yandan yukarıda sözü edilen ilk iki deney “ether sürüklenmesi” fikri ile uyumlu değildirler. Bir yıl boyunca gözlendiğinde uzak yıldızların gök küre üzerindeki görünen yerlerinin küçük elipsler çizdiği gözlenir, v yerkürenin yörüngesel hızı olmak üzere, yıldızın konumundaki açısal kayma v/c mertebesindedir. Ether dünya ile birlikte sürüklenseydi yıldız ışıklarındaki bu kaymalar gözlenmeyebilirdi. Hareketli sıvılarla yapılan deneyler, ancak küçük kütleli cisimlerin ether sürüklemede az başarılı oldukları varsayılırsa “ether sürüklenmesi” hipotezi ile uyumlu olurlar.

 Lorentz Dönüşümleri ve Özel Görelilik Postülatları

1904 yılında H. A. Lorentz, alan bileşenlerinin uygun bir şekilde değişmesi şartı ile birlikte Maxwell denklemlerinin formunu değiştirmeyen acayip ve dikkat çekici bir dönüşüm keşfetti. Yukarıda ele aldığımız å ve å¢ referans sistemlerini yeniden göz önüne alalım. İki sistemdeki koordinat ne zamanı birbirine bağlayan ifadeler olarak Galilei dönüşümleri yerine Lorentz dönüşümlerini alalım:

y¢=y,                z¢=z,                           olmak üzere                              (.3)

Burada da elektrik ve magnetik alan dönüşümlerine girmeden (7.2) dalga denklemine bakalım.

olarak alır ve (7.3) bağıntılarını kullanarak

hesaplar ve dalga denkleminde yerine koyarsak

sonucuna varırız. Bu denklem j ye göre homojen olduğundan bu denklemde eşitliği bozmadan j yerine j¢ (j’nin üslü sistemdeki değeri) koyabileceğimizi beklemek mantıklıdır. Böylece Lorentz dönüşümleri altında dalga denkleminin formu değişmez kalır.

Lorentz dönüşümlerinin özel görelilik teorisi için bir temel teşkil etmelerine rağmen, göreliliğin ileriyi gören sonuçları Lorentz tarafından keşfedilmedi. Lorentz o günlerde hala ether hipotezinin doğruluğuna inanıyordu ve türettiği dönüşüm bağıntıları ile elektromagnetizmanın ether temsili arasında ilgi kurabilmek için çalışıyordu. Görelilik teorisinin bugünkü haline geliştirilmesi H. Poincare ve A. Einstein tarafından yapıldı.

1899,1900 ve 1904 yıllarında Poincare, Michelson Morley deneyinin sonucunun (yani mutlak ether referans sistemini bulamama) genel bir ilkenin bir görünümü olduğunu önerdi: Mutlak hareket hiçbir laboratuvar deneyi ile dedekte edilemez, ve bu birbirlerine göre sabit hızlarla hareket eden gözlemciler için doğa yasaları aynı olmalıdır. Poincare bu ifadeye “görelilik ilkesi” adını verdi. Poincare ayrıca, hiçbir hızın ışık hızını geçemeyeceği kuralı ile birlikte diğer bazı özellikleri içerecek yeni bir dinamiğin geliştirilmesi gerektiğini belirtti. 1905 yılında Einstein “Hareketli Cisimlerin Elektrodinamiği” başlıklı ve içinde (1) görelilik ilkesi ve (2) ışık hızının sabitliği postulatlarına dayalı özel görelilik teorisinin geliştirildiği makalesini yayımladı. Einstein bir koordinat sisteminden diğerine geçerken çeşitli fiziksel büyüklüklerin dönüşüm bağıntılarını türetti ve Newton yasalarının ve şekilde değiştirilmesi gerektiğini gösterdi.

Einstein pastülatlarının ifadeleri şöyledir:

1.     Birbirlerine göre sabit hızla hareket eden bütün koordinat sistemlerinde doğa yasaları aynıdır.

2.     Boşlukta ışığın yayılma hızı bütün referans sistemlerinde aynıdır ve ışık kaynağı ve gözlemcinin hareketinden bağımsızdır.

x-ekseni boyunca birbirlerine göre sabit  hızına sahip å ve å¢ koordinat sistemlerini gözönüne alalım. t=0, t¢=0 anında koordinat sistemleri çakışık olsun ve sistemlerin ortak başlangıç noktasında bir ışık kaynağı yanıp söndü. å koordinat sistemindeki bir gözlemci, merkezi başlangıç noktası olan küresel dalga cepheleri gözleyecektir. Dalga cephesi üzerindeki bir noktanın koordinatları (x,y,z) olmak üzere dalga bu noktaya t anında varmış ise

x² + y² + z² –c² t² = 0                                                                                     (.5)

bağıntısı sağlanır. Aynı t anında dalga cephesinin önündeki bir (x₁, y₁, z₁) noktası için

                                                                               (.6)

ve dalga cephesinin gerisindeki bir (x₂, y₂, z₂) noktası için

                                                                               (7)

olacaktır.

å¢ koordinat sistemindeki bir gözlemci de aynı olayı gözler ve Einstein postülatlarına göre bu sistemde de ışık dalgalarının yayılma hızı c olacaktır. Bu nedenle (7.5), (7.6) ve (7.7) bağıntıları å¢ sisteminde de geçerli olacaktır. Her iki sistemdeki koordinatlar ve zaman arasında bir lineer dönüşüm olması gerektiğinden, åå¢ sisteminde koordinatları (x¢, y¢, z¢, t¢) olan herhangi bir nokta için sisteminde koordinatları (x,y,z,t) ve

x² + y² + z² – c² t² =                                                    (.8)

olmalıdır. Eşdeğer olarak å sisteminde herhangi bir uzay-zaman aralığı ve bunun å¢ sistemindeki karşılığı için

(Dx)² +(Dy)² +(Dz)² c² (Dt)² = (Dx¢)² +(Dy¢)² +(Dz¢)² –c² (Dt¢)²                     (9)

yazabiliriz.

Bir referans sisteminden diğerine geçtiğimizde değişmez kalan bir büyüklük bulduktan sonra, bu “değişmez büyüklüğü” etkilemeyen bir dönüşüm bulmalıyız. Lorentz dönüşümleri aranılan dönüşümdür.

x² + y² + z²- c² t²

büyüklüğü, (7.3) ile verilen Lorentz dönüşümleri altında değişmez kalır. Böylece, Einstein postülatlarının bize doğrudan Lorentz dönüşümlerini vereceğini görürüz.

Bu koordinat sisteminden diğerine geçiş için Lorentz dönüşümleri doğru dönüşümleri ise, açık olarak (.1) bağıntıları ile verilen Galilei dönüşümleri doğru olmayacaklardır. Galilei dönüşümleri, yalnızca bütün hızlar ışık hızına oranla çok küçük olduğu durumlarda yaklaşık olarak doğrudur. Newton mekaniği, Galilei dönüşümleri altında değil de, Lorentz dönüşümleri altında değişmez kalan bağıntılarla ifade edilmelidir.

Bu kesim içinde son olarak Lorentz dönüşümlerinin üç basit sonucunu tartışacağız: 1) eşzamanlılık kavramının düzeltilmesi, 2) Lorentz büzülmesi, 3) zaman yavaşlaması.

İki olay aynı anda olursa eşzamanlıdırlar denir. Bu olaylar uzayın farklı iki noktasında olmuşlar ise bunların aynı anda olduklarını saptayacak özdeş iki saate sahip olmalıyız. å koordinat sisteminde x₁ ve x₂ noktasında iki olayın aynı t anında olduklarını düşünelim. (7.3) bağıntıları ile verilen Lorentz dönüşümlerine göre å¢ sisteminde olaylar eşzamanlı değillerdir.

                                                                     (10)

bu sonuca göre eşzamanlılık kavramını değiştirmemiz gerekir. İki olay belli bir referans sisteminde eşzamanlı iseler başka bir koordinat sisteminde eşzamanlı olmayabilirler. Lorentz dönüşümlerinin doğruluğunu kabul edersek, “evrensel zaman” kavramından vazgeçmemiz gerekir.

Lorentz büzülmesi, hareketli cisimlerin hareket doğrultusundaki boyutlarının daha kısa ölçülmesi olayıdır. (73) Lorentz dönüşümlerinden Dx¢= ve Dx=x₁-x₂ olmak üzere, b º u/c alınarak

                                                                         (.11)

bulunur. uzunluğunu cismin durgun olduğu sistemde ölçülen “gerçek uzunluğu” olarak düşünürsek, å koordinat sisteminde gözlenen uzunluk büzülmüş görülecektir:

                                                                                                (.12)

Hareket doğrultusuna dik boyutlar Lorentz dönüşümleri altında değişmez kalır.

Hareketli cisimlerle ilgili olarak olayların yavaş işleyişi, “zaman yavaşlaması” en kısa olarak (.9) bağıntısından elde edilir. Bu bağıntı

                                                     (13)

şeklinde yazılabilir. å¢ cismin hareketsiz olduğu koordinat sistemi olsun, (dx¢/dt¢) = (dy¢/dt¢) =(dz¢/dt¢)=0 ve

olduğundan yukarıdaki bağıntı

                                                                                                (14)

şeklini alır. å sisteminde ölçülen süre durgun sistemde ölçülen süreden daha uzun bulunur. Bir başka deyişle gözlemciye göre hareketli saatler yavaşlamış gözükürler.

7.3) Uzay-Zamanın Geometrisi

Önceki kesimde verilen Lorentz dönüşümleri birbirlerine göre sabit hızla hareket eden iki koordinat sistemindeki uzay koordinatları ve zamanlar birbirlerine bağlayan lineer dönüşümlerdir. Bu dönüşümleri esas alarak uzay koordinatları ve zamanın benzer roller oynadığı bir dört boyutlu uzayın geometrisini kurmak mümkündür. Lorentz dönüşümleri altında

x²+y² + z² - c² t²

büyüklüğünün değişmez olduğunu yani bütün koordinat sistemlerinde değerinin aynı kaldığını biliyoruz. Bu özellik, üç boyutlu Öklityen uzayda bir vektörünün boyunun koordinat eksenlerinin dönmeleri altında değişmez olmasının hatırlatır:

Örnek olarak yandaki şekilde görülen x-y eksenlerini q kadar döndürmekle elde edilen yeni koordinat sistemine dönüşüm bağıntılarını ele alalım:

x¢= x cos q + y sin q

y¢= - x sin q + y cos q                                                                       (15)

z¢=z

Bu dönüşüm altında  vektörünün boyu değişmez kalır. (15) bağıntıları yardım ile

X² + y² + z² = x¢² + y¢² + z¢²                                                                           (16)

olduğu kolayca görülebilir. (7.15) bağıntıları üç boyutlu “ortogonal dönüşüm” lere bir örnektir; gerçek ve bir vektörün boyunu değiştirmeyen dönüşümlere ontogonal dönüşüm adı verilir. Ortogonal dönüşümlerin özellikleri gelecek kesimde daha ayrıntılı olarak incelenecektir.

Bu formalizmi dört boyutlu uzaya genellemek için, x² + y² + z² –c² t² kemiyetini uzay-zamanda bir vektörün boyunun karesi olarak yorumlarsak karşımıza bir problem çıkar. Dördüncü bileşen ct’nin karesi ifadeye eksi işaretle girmektedir. Bu temel olarak uzay-zamanın Öklityen olmayan dört boyutlu bir uzay olduğunu gösterir. Karşımıza çıkan problemlerden birçoğun koordinatları, i=     olmak üzere

x₁=x                 x₂=y                 x₃=z                 x₄=ict                                      (17)

seçerek çözebiliriz. Bu dört boyutlu uzay (ilk kullanan Minkowski) Öklityen değildir, çünkü sanal bir koordinat içermektedir. Minkowski uzayının birçok özellikleri bir Öklit uzayı gibi ele alınarak türetilebilir.

büyüklüğü belirli dönüşümler altında değişmez kalır. Lorentz dönüşümlerini de içine alan bu dönüşümler ortogonal dönüşümlerin birçok özelliklerine sahiptirler fakat bu dönüşümler bazı sanal bileşenlere sahip olanaklarından, tam doğru olarak “karmaşık ortogonal dönüşümler” ismini almalıdırlar. Aşağıdaki tartışmalarda bu farklılığın önemli bir sonucu yoktur ve Minkowski uzayında Lorentz dönüşümleri ortogonal dönüşüler olarak ele alınacaklardır.

(x₁, x₂, x₃, x₄) ile tanımlanan büyüklüğe dört-boyutlu vektör (kısaca dörtlü vektör) adı verilir. Lorentz dönüşümleri altında (x₁, x₂, x₃, x₄) bileşenleri gibi dönüşen diğer dört bileşenli vektörler tanımlayacağız.

 Üç Boyutlu Ortogonal Dönüşümler

Ortogonal dönüşümlerin özelliklerini üç boyutlu Öklityen uzayda incelemek daha basit ve öğreticidir. Bu şekilde türeteceğimiz sonuçlar dört boyutlu Öklityen uzaylara, dördüncü bileşen x₄ ilave edilerek genellenebilir. Bağıntılarda kısalık açısından x,y,z yerine x₁, x₂, x₃ notasyonunu kullanacağız.

Yeni koordinatlar eskilerini lineer kombinasyonları şeklinde veriliyorsa böyle bir dönüşüme lineer dönüşüm adı verilir: örneğin

                                                                          (18)

veya kısaca

                                                                                                 (18a)

lineer bir dönüşümdür. [a_ij] katsayıları kümesi dönüşümü bütünüyle belirler.

Bu vektörün boyunu değişmez bırakın (veya ye değiştirmeyen) dönüşümler ortogonal dönüşümlerdir. (7.8a) ile verilen dönüşümün ortogonal olduğunu varsayalım; bu durumda

                                                                                          (.19)

olmalıdır.

                                                                               (.20)

                                                                     (21)

(7.19) ve (7.21) bağıntılarının uyumlu olmaları için

                                                                                (.22)

şartları sağlanmalıdır. Bu bağıntı Kronecher deltası kullanılarak daha kısa yazılabilir:

                                                                                             22a)

(7.22a) bağıntısı {a_ij} dönüşümünü ortogonal yapmak sağlanması gereken şarttır. (15) bağıntıları ile verilen dönmenin bu şartı sağladığı kolayca gösterilebilir.

(7.18) dönüşümü, ve A bir matris operatör olarak alınmak üzere

                                                                                                        (23)

şeklinde yazılabilir, bu A {a_ij} katsayılarından oluşan matristir:

                                                                   (24)

vektörlerini sütun matrisleri olarak gösterirsek (7.23) bağıntısını

                                                                      (23a)

şeklinde yazabiliriz.

Bir dönüşümün tersi, bizi tekrar başlangıçtaki koordinat sistemine götürmelidir. Bu nedenle {b_ij} {a_ij}nin ters dönüşümü ise

                                                                                                (25)

olmalıdır. Bu bağıntıyı (7.18a) ile birleştirerek

buluruz, bu bağıntıda

                                                                                              (26)

eşitliğini sağlarsa, sonuç özdeşlik haline girer. (7.26) bağıntısı B={b_ij}nin A={a_ij} nin ters dönüşümü olması için sağlaması gerekli şarttır. Buna ek olarak A={a_ij} ortogonal bir dönüşün  ise (22a) bağıntısının sağlanmalıdır. (.22a) ve (.26) bağıntılarının kıyaslanması, B matrisi

b_ji = a_ij                                                                                                          (27)

olacak şekilde kurulursa gerçekten ters dönüşümü verir. Bu şarta göre B matrisi A matrisinden satırlarla sütunların yerleri değiştirilerek elde edilmektedir. Bu matrise A’nın transpozu adı verilir ve A^T sembolü ile gösterilir. Bu ortogonal dönüşümün tersi transpozuna eşittir.

Vektör kavram en temel şekli ile doğrultu yön ve büyüklüğe sahip bir kemiyet olarak tanımlanır. Dönüşümler teorisi içimde bir vektör aşağıdaki şekilde tanımlanabilir.

“Bir ortogonal dönüşüm altında bileşenleri yer vektörünün bileşenleri gibi dönüşen bir kemiyet vektördür.”

 herhangi bir vektör fonksiyon ve ¢ onun dönüşmüş şekli ise, A bir ortogonal dönüşüm matrisi olmak üzere

¢=A                                                                                                         (28)

yazılabilir. Bir vektörün boyu veya iki vektörün skaler çarpımı gibi skaler fonksiyonlar ortogonal dönüşümler altında değişmez kalırlar.

Fizikte skaler ve vektörlere ek olarak daha karmaşık yapılı kemiyetler vardır. Bunlardan, dönüşüm özelliklerini bilmemiz gerekli biri var ki iki olan tensör veya kısaca tensördür. Bu tensörün bileşenleri iki indisle belirlenir. Daha önceki derslerimiz de ”elektrik alınganlık” tensörününü görmüştük. Tensörlere, mekanikte rastlanan daha sık rastlanan örnek eylemsizlik momenti tensörüdür.

İki vektörel büyüklük arasındaki lineer bir bağıntı rankı iki olan bir tensör cinsinden ifade edilebilir. Bu yolla bir katı cismin  açısal hızı ile açısal momentumu arasındaki bağıntı

                                                                                                        (29)

veya

                                                                                              (29a)

şeklinde yazılabilir. Rankı iki olan bir tensör matris olarak yazılabilir:

                                                                                  (30)

ve gibi iki vektörün

=                                                                                                       (31)

tensör bağıntısı ile birbirlerine bağlı olduklarını varsayalım. A ortogonal dönüşümü altında ¢ ye  ¢ ye dönüşecektir. (7.31) bağıntısını yeni koordinat sisteminde

                                                                                                     (32)

yazabilmeliyiz, burada   nin dönüşmüş şeklidir. Ancak

                                                                  (33)

olacaktır, burada (a^T)_km º a_mk dır. (7.32) ve (7.33) bağıntılarının tutarlı olması için

                                                                             (34)

olmalıdır. Bu bağıntı rankı iki olan bir tensörün bir ortogonal dönüşüm altında dönüşüm yasasını ifade etmektedir. Rankı iki olan bir tensör ortogonal dönüşümler altında iki takım a_ij katsayısı ile birlikte dönüşür. (34) bağıntısı aslında üç matrisin çarpım ifadesidir, bu nedenle (7.34) eşitliği kısaca

                                                                                (44a)

olarak yazılabilir.

 Kovaryant Formalizmin Özeti

Bu kısımda önceki kesimlerde türetilen sonuçların özetini vereceğiz:

Dörtlü vektörler

Uzay-zaman     x= (x,y,z, ict)

Akım-yük        J= (J_x, J_y, J_z, icg)

Potansiyel        A= (A_x, A_y, A_z, iV/c)

Alan Tensörü        

Maxwell Denklemleri

Potansiyel İçin Dalga Denklemi

Lorentz Ayar Şartı

Süreklilik Denklemi

Göreli elektromagnetik teori konusundaki yüksek seviyeli kitapların çoğunda “toplam anlaşması” adı verilen bir notasyon kullanılır. Bu notasyonal toplam işaretleri kaldırılır ve tekrarlanan indisler üzerinde toplam alınacağı kabul edilir. Bu anlaşma ile örneğin süreklilik denklemi daha denli toplu bir şekilde

olarak yazılır.

 Elektromagnetik Alan İçin Dönüşüm Yasası

Dört boyutlu formalizmde elektromagnetik alan rankı iki olan bir tensör ile temsil edildiğine göre, bileşenleri Lorentz dönüşümleri altında rankı iki olan bir tensör gibi dönüşür:

                                                                                 (52)

Bu ifade (7.34) bağıntısında (a^T)_bn=F_ab özelliği kullanılarak elde edilir.

Üslü sistemi, üssüz sisteme göre x-ekseni boyunca sabit ve hızıyla hareketli olarak alırsak, Lorentz dönüşümü (.36) ile verilir. Sonuç olarak,

                                                                                             (53)

                                                                           (54)

Benzer şekilde

                                                                          (.55)

buluruz. Elektrik alanı bileşenleri için

                                                           (56)

Benzer şekilde

                                                                          (.57)

                                                                           (58)

 ve nin hareket doğrultusundaki bileşenleri Lorentz dönüşümü ile değişmez, diğer bileşenler değişir.

Yukarıda bulunan sonuçlar, II ve I sembolleri alanların  hızına paralel ve dik bileşenleri olmak üzere aşağıdaki üç boyutlu denklemler ile özetlenebilir:

                                                    (59)

Ters Dönüşümler

                                                   (.60)

olarak verilir.

Sabit Hızla Hareket Eden Nokta Yükün Alanı

q yükünün x-ekseni boyunca hızıyla hareket ettiğini düşünelim. Üslü sistemi yük ile birlikte hareket eden koordinat sistemi olarak alalım. Üslü sistemde q yükü O¢ noktasında bulunsun. q yükü üslü sistemde hareketsiz olduğundan P noktasında

                                                                                   (61)

olur. Üssüz sistemdeki alanlar (7.60) bağıntıları yardımı ile bulunabilir. olarak üzere

                               (62)

gibidir. (7.3) dönüşümleri ile

x¢= g(x-ut),      y¢=y, z¢=z

olarak verilir, burada t üssüz sistemde iki orjinin çakışık olduğu andan itibaren ölçülen süredir. ¢ vektörü

                                                                                      (63)

bileşenleri ile verilir. İleride kullanılmak üzere

                                                                                   (64)

vektörünü tanımlayalım. Böylece (62) denklemleri

                                                                                     (65)

veya

                                                                              (65a)

olarak bulunur, burada

                                                                                        (66)

bileşenleri ile verilir.

Elektrik alanı nokta yükün anlık konumundan dışa doğru ışınsal doğrultudadır, ancak statik durumun aksine hücresel simetriye sahip değildir. Gerçekte, hızlı hareket eden yükler için elektrik alanı harekete dik düzlem içine sıkışır.

Magnetik alan bileşenleri

                                                                     (67)

veya

                                                                                            67a)

olarak bulunur. Magnetik alan çizgileri yükün yörüngesi çevresinde çemberler şeklindedir.

Dipol Radyasyonu:

z

           Zamana bağlı bilinen bir yük – akım dağılımının radyasyonu için basit bir örnek, titreşen elektrik dipolünün oluşturduğu radyasyonun hesabıdır. Elektrik dipolünün

Z = ± l / 2 noktalarında iki küçük iletken küre ve bunları birbirine sağlayan empedansı ihmal edilebilir bir telden oluştuğunu varsayalım. Üstteki kürenin yükü +q₁ alttaki kürenin yükü –q olsun. Elektrik yükünün korunumuna göre küreleri birleştiren telden geçen akım şiddeti

                                                                                           (118)

olarak verilir, burada akım şiddeti z-ekseni boyunca olur. Bu akım şiddetinin oluşturduğu vektör potansiyel, elektriksel geçirgenliği e, magnetik geçirgenliği m olan bir ortam için

                                                      (119)

olacaktır.  büyüklüğü incelenirse bu ifadenin daha basit şekle indirgenebileceği görülebilir:

                                                                   (120)

İki yük arası uzaklık l, r den çok  küçük ise yani dipol boyutlarına göre çok uzak noktalar da alan hesabı yaparsak

açılımını kullanarak

                                                                              (121)

yazılabilir, burada  ile z-ekseni arasındaki açıdır. (16.121) deki büyüklük (119) da iki yerde görülür. Paydada r>> z¹ ise z¹  cosq terimi ihmal edilebilir. Ancak gecikme teriminde  z^ı cos q teri i, ancak z^ı cos q  terimi, akımın anlamlı bir şekilde değişme süresi, örneğin harmonik olarak değişen akımlar için bir periyot süresine kıyasla küçük olduğunda ihmal edilebilir.  elektromagnetik dalgaların yayılan hızı ve z^ı cosq£ l/2 olduğundan, yalnızca

                                                                                                (122)

şartı ile z¹ cos q / V büyüklüğü gecikme teriminde ihmal edilebilir. Böylece dipolün boyutu dalga boyuna ve gözlem noktasının uzaklığına göre çok küçük ise vektör potansiyeli

                                                                         (123)

olarak bulunur.

            Skaler potansiyel V Lorentz ayar şartı veya gecikmiş potansiyel bağıntısı kullanılarak bulunabilir. Her iki yöntem de aynı sonucu verir, ancak Lorentz ayar şartını kullanarak yapılan hesap daha kısadır. Lorentz ayar şartı.

                                                                                         (124)

kullanılarak

                                                 (125)

bulunjur, burada I^ı I nın argumanına göre türevidir. I = dq / dt olduğunu gözönüne alınarak bu bağıntı kolayca integre edilebilir:

                                                  (126)

            Skaler ve vektör potansiyel ifadeleri elde edildikten sonra elektromagnetik alan kolayca hesaplanabilir. Özel bir örnek olarak yük-akım dağılımı

            q(t-r/v) – q_o cosw (t-r/v)

            I= I_o sinw (t-r/v) = -wq_o sinw (t-r/v)                                                    (127)

Şeklinde alınabilir, burada akım şiddeti z-ekseni boyuncadır. Küresel koordinatların birim vektörleri cinsinden

olduğundan vektör potansiyel nın küresel koordinatlardaki bileşenleri

                                                              (128)

olarak bulunur. Küresel koordinatlarda rotasyonel işlemi

gibidir. Buradan yalnızca B_f nin sıfırdan farklı olacağı görülür:

                             (.129)

Elektrik alanın küresel koordinatlardaki bileşenleri

                                                                                           (130)

olarak bulur. Burada zamanla harmonik olarak titreşen (ivmeli hareket yapan) dipolün çevresindeki noktalarda ışınsal doğrultuya dik (E_q ve B_f) alan bileşenleri bulmak ilgi çekicidir.

            Dipolün enerji ışıma hızını hesaplamak öğretici olacaktır. Bu hesap, Poyuting vektörünün merkezi başlangıç noktasında, R yarıçaplı küre yüzeyi boyunca integrali alınarak yapılabilir:

                                                                   (131)

E_q ve B_f için yukarıda verilen ifadeler kullanılarak bu integral hesaplanabilir, ancak integralin R ® ¥ için sıfır olmayan kısmını hesaplamak daha öğreticidir. E_q ve B_f deki 1/r ile orantı terimleri seçersek

                                                             (132)

bulunur. Bu ifadenin bir peryot boyunca ortalaması (cos² nin ortalaması ½ dir)

                                                                                                   (133)

olarakl bulunabilir. l=2pv/w   ve  olduğundan

                                                                                         (134)

yazılabilir. Üzerinden I_o coswt akımı geçen R direncinde ortalama enerji harcanma hızı

 dir. Bu ifadeyi (16.134) le kıyaslarsak “dipol için radyasyon direnci”ni

                                                                                              (135)

olrak tanımlayabiliriz. Boşluk için  ve

            olur.

Hareketli Yükler Grubunun Işıması:

Bu kesimde bir hareketli yükler grubu veya eşdeğer olarak bir yük-akım dağılımı tarafından yayımlanan güç için bir ifade türeteceğiz. Yükleri hareketli aşağıdaki sınırlamaların dışında keyfidir: radyasyonun yüklerin yıkımından gözlem noktasına varıncaya kadar geçen

süre içinde, bütün yüklerin kaynak-gözlemci arasındaki uzaklığa kıyasla küçük boyutlu bir V₁ hacmi içinde kalacaklarını ve V₁ hacminin boyutlarının yayımlanan radyasyonu dalgana kıyasla küçük olduğunu varsayalım. Bu varsayımlar, yüklerin ışık hızına kıyasla yavaş hareket etmeleri sınırlanması ile eşdeğerdir. Ayrıca yüklerin boşlukta hareket ettiklerini varsayacağız.

            Problemin çözümünün ilk basamağı olarak skaler ve vektör potansiyelleri hesaplamalıyız. Gözlem noktasının yer vektörünü  ve yüklerin yer vektörleri  ile temsil edersek, yüklerin P ye giden yer vektörü

                                                                                                             (144)

olacaktır.  olduğundan

olduğundan

                                                                                                (145)

P noktasındaki gecikmiş skaler potansiyel

                                                        (146)

                                                                            (147)

Binom açılımı ve

                                  (148)

Taylor serisi açılımını kullanarak

            + daha yüksek mertebeli terimler                                                                  (149)

elde ederiz. Bu ifadedeki ilk integral yük dağılımlarındaki toplam yük Q dur. Toplam yük sabit yani zamandan bağımsızdır. (149) daki ikinci ve üçüncü integral yük dağılımının t-r/c anındaki toplam dipol momenti  dir. Daha yüksek mertebeli terimler, ya r nin daha yüksek kuvvetleri ile ters orantılı olarak küçülürler veya yük dağılımını daha yüksek multipal (luadropal –dört kutupları v.s.) momentlerine bağlıdırlar. Hesaba başlarken aldığımız varsayımlar nedeniyle, bu terimlerin, yük dağılımından uzaktaki noktalarındaki elektromagnetik alana katkıları ihmal edilebilir. Böylece  olmak üzere

                                                  (150)

yazılabilir. Taylor serisine açılımın sonucu olarak bu terimlerde yalnızca bir tek gecikmiş zaman (t-r/c) terimi ortaya çıkar.

Gecikmiş vektör potansiyeli

                                (151)

şeklinde yazılabilir. (16.151) bağıntısı yükler V₁ hacmi içinde kalma koşulu ile

                                                                                       (152)

yazılabilir. Elektrik ve magnetik alanlar

bağıntılarından elde edilebilirler. nin yalnızca radyasyon bölgesinde sıfırdan farklı olan bileşenleri ile yani 1/r ile orantılı olan bileşenleri ile ilgileneceğiz, çünkü bu terimler yük dağılımının ışıdığı gücün hesabı için yeterlidirler.  nin hesabı kolaydır; nin hesabında  t-r/c nin fonksiyonu olduğu için

                                                                                                         (153)

bulunur, sonuç olarak

            den daha hızlı küçükken terimler                                                (154)

elde edilir.

           nin hesabı için  (16.152) nin rotasyoneli hesaplanmalıdır. Bu hesabı küresel koordinatlarda yapmak daha uygun olur. 1/r den daha hızlı küçülen terimleri ele almaksızın

                                                 (155)

Böylece radyasyon bölgesinde alanlar

                                                                                                       (.156)

                                                                            (16.157)

olarak verilir, burada  gibidir.

            ye diktirler, böylece Poyuting vektörü   doğrultusundadır ve

                                                                                    (158)

veya

                                                                                     (159)

olarak yazılabilir. Toplam ışınan güç Poyuting vektörünün yük dağılımını saran kapalı bir yüzey üzerinden integrali alınarak hesaplanabilir. Böylece bir yüzey olarak uygun bir seçim merkezi başlangıç noktasında, radyasyon bölgesini içine alacak kadar büyük yarıçaplı bir küredir.  vektörünün z-ekseni boyunca olduğunu varsayarsak:

                                                                                                  (160)

önemli sonucunu elde ederiz. Bu ışık hızına kıyasla yavaş hareket eden yükler grubunun ışıdığı güçtür.

            (160) gelişigüzel hareket eden yüklerin ışıdığı güç için, onların elektrik dipol momenti  cinsinden verilen bir ifadedir. Titreşen dipolden ışınan radyasyon için önceden türetilen bağıntı (133) (160) ın özel bir örneğidir; o halde p = (lI_o / w) cosw (t – r /c) idi. Yük dağılımının özel bir simetrisi nedeniyle dipol momenti sıfır veya zamanda bağımsız olabilir. Bu durumda ışınım güç sıfır değildir, ve V ve  nın açılımında (149 ve 151 bağıntıları) daha fazla terimleri hesaba katmamız gerekir. Gerçekten bu halde ışınım gücün sistemi daha büyük multipol momentlerine bağlı olduğunu bulurduk. Multipolün mertebesi arttıkça çeşitli multipol radyasyonlarının şiddeti basamak basamak küçülür; örneğin a yük dağılımının boyutu, l yayınlanan radyasyonun dalga boyu olmak üzere, kuadropol radyasyonu dipol radyasyonundan kalma (a/l)² çarpan kadar daha küçüktür. Böylece ele alınan sistem için sııfr değilse (160) bağıntısı ışınan gücün büyük bir kısmını verir.

            (16.156), (16.157) ve (16.160) bağıntıları ivmeli hareket eden tek bir q yükünün radyasyonuna da uygulanabilir.  yükün yer vektörü olmak üzere dipol momenti dür. Böylece

olur, burada yükün hızıdır, sonuç olarak

yazılabilir, yükün ivmesidir. Bu sonucun (16.160) da yerine koyarsak, ışık hıızna göre yavaş, ivmeli hareket eden q yükünün ışıdığı güç için

                                                                                     (161)

ifadesi buluruz.