KOMPLEKS SAYILARLA DEVRE ANALİZİ

Alternatif devre elemenlerında kullanılan akım ve voltaj değerlerinin hepsi çeşitli Sinwt ve Coswt li terimler içermektedir. Bu yazımlar çoğu kez oraya uygun trigonometrik bağıntıların sokulmasıyla yakınlaştırılır fakat bu süreç en yakın devre için bile zahmetli olmaktadır.Alternatif devre çözümlerinde eğer sinizoidal akım ve gerilimler kompleks sayılarla gösterilirse, bu büyük ölçüde kolaylık sağlar.

Burada

ve elektronik devre çözümlemesinde alışılmış akım gösterimleriyle karışmaması için  yerine i den çok j kullanılır. Yani negatif bir sayının kare köküne kompleks (imajinel) sayı denir.

Z = x + jy    kompleks sayı

Z₁= x₁ + jy₁     y₁=y₂=> Z₁ + Z₂ = Z

Z₂= x₂ + jy₂

Z₁ = x₁ + jy₁                Z₂ = x₂ + jy₂

Z = Z₁ Z₂ = (x₁x₂) + j(y₁ y₂)

Z = x + jy   Z^* = x � jy     kompleks-eşleniği(konjugesi)

Z. Z^* = x² + y² = Z²

Z₁.Z₂ = (x₁ + jy₁)(x₂ + jy₂)

=

   Örnek : Seri R-L devresinde Z empedansını hesaplayınız?

       V₀= 150volt        

      w=5000sn^-1

      Z=R+jwL=5+j5000.2.10^-3=5+j10

      Z²=Z.Z^*=(5+j10)(5-j10)=25+100=125

                                                             Z=W

                                     Z

j10                                           Devreden geçen i akımını bulalım.

                                                           a) Klasik yoldan

                                                                                                                    Z=

                                                            b) Kompleks sayılarla.

                              5

a)         v_o =150sin5000t  v_o =150V

v_ef=            I_ef==  I_ef===9.49A

b)                     v_ef=              I_ef=            I_ef==

  I_ef==        I_ef. I_ef^*=I²_ef       I_ef =₌4.24-j8.5

I²_ef= (4.24-j8.5)( 4.24+j8.5)           I_eff=9.5A

                                             4.24

                                                              f                       v=106.4+j.0

                                                                        I_ef =4.24-j8.5

                                           -j1.5          tgf= f=63⁰

Örnek : Şekildeki seri R-C devresinde Z empedansını bulunuz.

                            R=20

                f

   -j20                          Z

w®0 Þ X_L = jwL <<  dür.    X_C =  >> olduğundan Z ® ¥ gider.

w® ¥ Þ X_L  >> ve  X_C  << olacağından Z ® ¥ gider.

Akım ile frekansın değişimine bakarsak.

 ilişkisinden w®0 da Z ® ¥ olduğundan akım sıfıra gider. Devreden akım geçmez.

w® ¥ için Z ® ¥ a gidiyordu bu durumda da akım sıfıra gider, devreden akım geçmez

X_L = X_C = Þ= 0

w_oLC = 1   Bu şart empedansın minimum olmasını gerektirir. Bu da akımın maksimum olması demektir. Bu rezonans şartıdır.

                     Rezonans frekansını verir.

Paralel Rezonans Devresi  Şekil 2�deki gibi kurulmuş RLC devresini göz önüne alalım.

            Z₁ = 0

            Z₁ = 0

Şimdi Z�ye geri dönersek

                        w_o²LC = 1

İçin ise empedansın maksimum olduğunu gerektirir. Bu da akımın minimum olduğu demektir.

Elektronik devrelerde rezonans bütün frekanslar yanında belli bir frekansını şiddetlendirmek için kullanılır. Örneğin sığayı artırmakla devre birbirinde farklı frekanslara ayarlanabilir.