E N E R J İ

İş yapabilme yeteneğine enerji denir. Bir cisim veya sistem iş yapabiliyorsa enerjisi var demektir.

Hareket eden bir cisim, sıkıştırılmış bir yay, barajda  toplanan  su  enerjiye sahiptir. Bir cismin  veya sistemin  iş  yapabilmesi  için  enerjiye  ihtiyacı vardır. Bu nedenle  iş  ve enerji  birimleri  aynıdır. Enerji, iş gibi sayısal bir büyüklük olup, vektörel değildir.

Birimleri  c.g.s  de  erg,  S.I. de  joule,  M.K.S de  kgm  dir.

Enerji çeşitlerinin çoğu  birbirine dönüşebilirler.  Isı,  ışık, mekanik, kimyasal, elektrik ve nükleer enerjiler gibi...

Mekanik enerji de iki bölümde incelenir.

   1 -   Kinetik Enerji

   2 -   Potansiyel Enerji

 

   Kinetik  Enerji

 

Hareket halindeki cisimlerin sahip oldukları enerjiye  kinetik enerji  denir.

  

   Yapılan İş ve Kinetik Enerji Değişimi:

  

Duran bir cisme yatay düzlemde  bir F kuvveti etki ederek  x  kadar yol  aldırıyorsa, bir iş yapılmış olur. Bu işi yapmak için  harcanan enerji cisme bir  v hızı  kazandırarak kinetik enerjiye dönüşür.

                  İş  = Kinetik Enerji

                  W  =  E_k

                  W  = F . Dx

                  W  = m. a . ( v_or .t )

      

                a = v / t                

              v_or = ( 0 + v ). t / 2 = v . t / 2             

              

                  W = m . ( v / t ) . ( v. t / 2 )

                  W = ( 1/ 2 ). m v ²

                  W = E_k

                        

                  E_k = ( 1/ 2 ). m v ²

 

    Cismin  hızındaki  bir değişim  cismin kinetik enerjinin de değişmesine neden olur.

     v₁  cismin ilk hızı,  v₂  son hızı olsun. Kinetik enerjideki değişim ise:

          DE_k = E_k2 - E_k1

 

            DE_k = (1/ 2). m. v₂²-  (1/ 2). m. v₁²

            DE_k = (1/ 2). m . ( v₂²- v₁² )

 

Cismin  hızı  artarsa, kinetik enerjisi de artar, hızı azalırsa kinetik enerjisi de azalır. Bir cisme karşı yapılan iş ( W ), cismin kinetik enerjisindeki değişime  ( DE_k ) eşdeğerdir.

 

                           W = DE_k

      Bir sisteme veya cisme bir iş aktarılırsa, sistemin enerjisi artar. Sistem veya cisim iş yapıyorsa yapılan iş kadar sistemin enerjisi azalır.

 

    Esnek Çarpışmalarda Kinetik Enerjinin Korunumu 

     Bütün çarpışmalarda momentumun korunumu olmasına rağmen kinetik enerjinin korunumu sadece tam esnek çarpışmalarda vardır.    

Örneğin: Merkezi esnek çarpışma yapan iki bilyeden biri duruyorken diğeri gelip çarpıyor. Duran bilyenin hızı sıfır olduğu için kinetik enerjisi yoktur. Çarpan  bilyeninse hızından dolayı kinetik enerjisi vardır. Çarpışmadan sonra her iki bilyede değişik  hızlarla  hareket ederken,çarpan bilyenin kaybettiği kinetik enerji miktarını  duran bilye kazanır.

                      DE_k1  = DE_k2

                      DE_k1 + DE_k2  = 0

                              DE_{k (top)} = 0

 

     Tam  esnek çarpışmalarda  kinetik enerjilerdeki  toplam değişim sıfırdır.

  

     Kinetik enerjinin korunumu:

              E_k1 +E_k2  = E'_k1 + E'_k2 

   

 Momentumun korunumu:

                P₁  + P₂  = P'₁  + P'₂

   Momentumun ve kinetik enerjinin korunumundan gidilerek, cisimlerin  çarpışmadan  önce ve sonraki  hızlarının vektörel toplamlarının birbirine eşitliği yazılabilir.

              v₁ + v'₁  = v₂ + v'₂

Sürtünmeli Yüzeylerde Kinetik Enerji  Kaybı

 

Sürtünmeli  yüzeyde  hareket  eden m kütleli  bir  cisim v  hızından  dolayı sahip  olduğu kinetik enerjisini  tamamen  kaybedinceye  kadar  hareketini sürdürür.

Sürtünmeli yüzeyde sürtünme kuvveti  harekete zıt yöndedir.  Hareketli bir cisim, hareketin başlangıcında sahip olduğu  kinetik  enejisini, bir  süre yol aldıktan sonra  sürtünmeye  karşı harcayarak kaybeder. Cismin kaybettiği  kinetik enerji sürtünme sırasında ısı enerjisine dönüşür.

Cismin  başlangıçta sahip olduğu enerji:

                E_k   = (1/ 2 ) m .v₀²

    

Cisim ile yüzey arasında oluşan sürtünme kuvvetinin  Dx  yolu alınmasıyla yaptırdığı iş:

                    W_sür =  F_sür .  Dx

                   

                      E_k  = W_sür

    

                      E_k  =  F_sür .  Dx

 

  Dönen Cisimlerin Kinetik Enerjileri

Kütlesi m olan bir cisim AB ekseni etrafında  dönerken w açısal hızına sahiptir. Açısal  hız  w  sabit   ise  cismin her noktasının  açısal  hızı da sabittir. 

                       v = r . w

Bağıntısından anlaşılacağı gibi, açısal hız sabit olsa da çizgisel hız  sabit  olamaz.  Her  noktanın  çizgisel  hızı,  AB dönme eksenine olan r uzaklığına bağlı olduğu için birbirinden farklıdır.          

            SE_k  =  E_k1 + E_k2 + E_k3 + _...       

     

SE_k =(1/2)m₁v₁²+(1/2)m₂ v₂²+(1/2)m₃v₃²+...

   

       v₁ = r₁ w    ;   v₂ = r₂ w   ;   v₃ = r₃ w

 

 SE_k = (1/ 2) m₁ r₁²w² + (1/ 2) m₂ r₂²w²

                                        + (1/ 2) m₃ r₃²w² +...

 

 SE_k= (1/2 ) w² ( m₁ r₁² + m₂ r₂² + m₃ r₃²+.. )

 

               SE_k = (1/ 2 ) w² S m r²

 

              Sm r² = I   eylemsizlik momenti

 

                 SE_k = (1/ 2 ) I w²

 

   Bir cismin dönme eksenine göre olan eylemsizlik momenti ( I ) sabittir.

 

   Dönme kinetik enerjisi:

                             SE_k = (1/ 2 ) I w²

  

   Kinetik Enerji Birimleri:

                                kg     m 

                    I       = Sm  .  r²                 

             kg.m²     

                                         kg.m²     rad/s

                 SE_k = ( 1/ 2 )     I       .     w²

                     J

Bir cisim dönerek ilerliyorsa yani dönme hareketini ve yer değiştirmeyi  aynı anda yapıyorsa, kinetik enerjisi: 

 

  E_{k (toplam)}  = E_{k (dönme)}  + E_{k ( yer değiştirme)}

 

  SE_k  = (1/ 2 ) I. w² + (1/ 2) m. v²

 

      POTANSİYEL  ENERJİ

 

 

 

Bir cismin bulunduğu yerden dolayı sahip olduğu, içinde depo edilmiş durumda  ve  her an  kullanılmaya  hazır olan enerjiye potansiyel enerji ( E_p) denir. Potansiyel enerjiye sahip olan bir cismin veya sistemin iş yapabilme yeteneği var demektir.

Örneğin; denge durumundan  uzaklaştırılıp sıkıştırılmış veya çekilip uzatılmış bir  yay, baraj gölünde biriktirilmiş olan su, depolanmış su buharı, yerden belirli  bir  yüksekliğe çıkarılmış  bir  cisim,  potansiyel enerjiye ( E_p) sahiptir.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Yayın Potansiyel Enerjisi

 

 

Bir esnek yay x kadar sıkıştırılır veya uzatılırsa,  yay   bir esneklik potansiyel enerjisi kazanır.

Bir ucu sabit olarak bağlanmış bir yayı inceleyelim. Bu durumda yayın potansiyel enerjisi yoktur. Bir cisim v hızı ile gelerek  yayı  sıkıştırmaya  başlasın. Cisim yaya kuvvet  uygulayınca  yayda cisme eşit  ve zıt  yönde  tepki  kuvveti uygular. Cisim yayı  v  hızıyla  sıkıştırırken, hızından, dolayısı ile kinetik enerji-sinden kaybeder. Cismin kaybettiği kinetik enerjiyi yay, potansiyel enerji olarak kazanmıştır.

     x yayın sıkışma veya uzama miktarı, F tepki kuvveti , k yay sabiti olduğuna göre:

                         F = - k . x    

Yayın kuvvet- sıkışma ( F- x ) grafiği çizildiğinde, üçgenin alanı  yapılan  işi

 ve potansiyel enerjiyi verir.

   

 

 

 

 

 

 

 

 

   Üçgenin alanı = W = DE_p

                    E_p = ( 1/ 2 ) F . x

                    E_p = ( 1/ 2 ) kx . x

             

                    E_p = ( 1/2 ) kx²

     Grafikte doğrunun eğimi yay sabitini verir.  

                Tan a = F / x = k

Yay ne kadar potansiyel enerji kazanırsa, cisim o kadar  kinetik enerjisinden  kaybeder. Cismin kinetik enerjisi ile  yayın  esneklik potansiyel  enerjisi birbirlerine dönüşmektedirler. Sonuçta her  an  toplam  mekanik  enerji  sabit  kalır.

Cisim hızı sıfır olana kadar sıkıştırma yaptığı zaman, bütün kinetik enerjisini  yaya  potansiyel  enerji  olarak  aktarmış olur. Bu  durumda  x  sıkışma miktarı ve  E_p maksimum olmuştur.

                E = E_k  + E_p

                E = 0 + (1/ 2) k. x²_max

                E = E_{p (max)}  = ( 1/ 2 ) k. x²_(max)  

     

Yay  denge  konumuna  geri  gelince bütün  potansiyel  enerjisini  kaybeder. Bu defa cisim kinetik enerjisinin tamamını geri kazanır.

                E = E_k + E_p

                E = (1/ 2) m. v²_max + 0

                E = E_{k (max)} = ( 1/ 2 ) m. v²_(max)  

 

Sürtünmenin ihmal edildiği ortamlarda herhangi bir andaki toplam mekanik enerji:        

               E = E_k + E_p

               E = (1/ 2 ) m. v²+ ( 1/ 2 ) k. x²

 

Sıkışma miktarı  x_(max)  > x  >  0   aralığında iken cisim kinetik enerjiye, yayda potansiyel enerjiye sahiptir.

  

  x = 0            E_p = 0                  E_k = E_{k (max)}

                                                                      E = E_k   

 

  x = x_(max)     E_p = E_{p (max)}         E_k = 0 

                        E = E_p

 

 

 

 

 

 

 

 

 

   Yeryüzü Yakınlarında  Yerçekimi  Potansiyel  Enerjisi

 

Yeryüzüne yakın yüksekliklerde, bir cismin bulunduğu yükseklikten dolayı

yerçekimi potansiyel enerjisi vardır.

Örneğin; İkinci katta bir masanın  üstünde duran bir kitap, bulunduğu yükseklikten dolayı odanın tabanına göre bir  potansiyel  enerjiye  sahiptir. Aynı kitap deniz  seviyesine göre de bir potansiyel enerjiye sahiptir. Fakat her ikisi miktar olarak eşit değildir. Bir cismin yerçekimi potansiyel enerjisinden söz ederken referans alınan yer belirtilmelidir. 

Bir cismi belirli bir yüksekliğe çıkarırken yapılan iş : 

               

               W = F. x = G . h = m. g. h

 

Cismin yüksekliğinden dolayı  sahip olduğu  potansiyel  enerji, yapılan  işe  eşittir.  

                    W = E_p = m.g.h

 

Bir cisim bir yerden h yüksekliğinde duruyorken sadece potansiyel enerjiye sahiptir. Cisim  h yüksekliğinden  yere düşerken hız kazanırken kinetik enerji  de kazanacaktır. Cismin E_p  potansiyel enerjisi devamlı azalacaktır. Buna  karşılık kinetik  enerjisi devamlı artacaktır.

Yere düştüğünde ise  E_p = 0  olur ve  h yüksekliğindeyken sahip olduğu potansiyel enerjinin tamamı kinetik enerjiye dönüşür. 

Toplam mekanik enerji  daima  sabit  kalacaktır. 

 

              E_p + E_k =  E'_p + E'_k = sabit

 

Yaptığımız işlemlerde yeryüzüne yakın yüksekliklerde yer çekimi ivmesinin ( g ) değişmediğini  kabul ediyoruz.

 

    Çekim Potansiyel Enerjisi

  

  

 

 

 Bir cisim yeryüzünden uzaklaştıkça cisme etkiyen yerin çekim alanı şiddeti ve yerçekimi kuvveti azalır. Bu durumda  g = sabit  olarak alamayız. Cisimle  yerin  merkezi  arasındaki  r  uzaklığının  büyük  olması  durumunda,  çekim  potansiyel enerjisini   bulmak için yerin uygulayacağı yerçekimi kuvvetinin yaptığı ve de ona  karşı  yapılan işten yararlanılır.                      

 

      Newton'un genel çekim kanunu

Yerden  uzaklığı r olan m  kütleli  bir cisme, M kütleli yerin uygulayacağı F

 çekim kuvveti:   

                               F = G m . M / r²

 

Çekim kuvveti - uzaklık ( F- r ) grafiği çizildiğinde şekildeki alan  yapılan  işi  ve potansiyel  enerji  değişimini  verir.

İntegral hesabı ile eğri altında kalan alan, birbirinden r  uzaklıkta bulunan iki cisim aralarındaki uzaklığı sonsuz yapmak için yapılan işi verir.

                 W = G . m. M / r        

                    W = DE_p

 

                DE_p = E_p(sonsuz) - E_{p(r )}

 

          E_p(sonsuz) = 0

              

                DE_p = - E_{p(r )}

               E_{p(r )} = -  G .m. M / r

 

Yerin merkezinden  r kadar uzaklıkta dünyaya bağlı olan  bir cismin  çekim

 potansiyel enerjisi:

             E_{p(r )} = -  G .m. M / r

 

Cisim aynı zamanda kinetik enerjiye sahipse, cismin toplam mekanik enerjisi, kinetik ve potansiyel enerjilerinin toplamına eşittir.

             E =  E_k  + E_{p(r )}

            

             E = ( 1/ 2 ) m.v² + ( - G .m. M / r )

     

             E = (1/ 2) m.v² - ( G .m. M / r )

    

Kurtulma  Enerjisi

 

Toplam mekanik enerjisi negatif E (- ) olan m kütleli bir cisim, çekim merkezine bağlanır ve onun uydusu olur. Cismin toplam  mekanik  enerjisi  sıfır  E = 0 olduğu  zaman, çekim alanından ancak kurtulmuş olur. Cismin toplam  mekanik enerjisi  E (+) pozitif olduğu zaman, cisim bir ek kinetik enerjiye sahiptir ve çekim alanından tamamen kopar.  Yerden r  uzaklıktaki bir cismin çekim potansiyel enerjisi negatiftir.

               

 E_{p(r )} = -  G .m. M / r

 

 

Bir  cismi  çekim  kuvvetinden  kurtarmak için  en  azından  toplam  mekanik enerjisini sıfıra eşitlemek, yani potansiyel enerjisine eşit  miktarda pozitif kinetik enerji vermek gerekir.

Cismi çekim merkezinden kurtarmak ve toplam mekanik enerjisini sıfırlamak  için  gerekli  enerji  miktarına  kurtulma enerjisi denir.

              

 

 

 

  E =  E_k  -  E_{p(r )}

 

               0 = + G .m M / r -  G .m M / r

                                                      olmalıdır.

          E_kur = + G .m M / r

 

     Cisme verilecek  ek kinetik enerji:

        

          E_k  = + G .m. M / r = (1/ 2) m. v²

                   G .m .M / r_yer = (1/ 2) m. v²

                

                     v²_kur =  2. G . M / r_yer

                                   __________

                     v_kur = Ö  2. G . M / r_yer

 

Cisim kurtulma enerjisine sahip olduğu zamanki hızına kurtulma hızı  (v_kur ) denir.

 

 

 

    Bağlanma  Enerjisi

 

Bir uyduyu yerden belirli yükseklikte bir yörüngeye oturtmak  amaçlandığında,  uydunun yerin  çekim alanı  içinde kalarak etrafında  dönmesi  sağlanır. Yörüngesinin yarıçapı  yaklaşık yerin yarıçapı kadardır. Uydu  yörüngedeyken yerin çekim  kuvveti  ile merkezcil kuvvetin etkisinde kalır.

        F_mer  =   m . v²  / r_y

        

        F_küt  = G .m . M / r_y ²  

                           F_mer   =   F_küt

                  

               m . v² / r_y  = G .m. M / r_y²

                      m . v² = G .m. M / r_y

  Her iki tarafı (1/ 2 ) ile çarparak, kinetik enerjiyi bulalım.

        

        ( 1/ 2 ) m . v² = ( 1/ 2 ) G .m. M / r_y

                        E_k   =  G .m. M / 2 r_y

 

    Uydunun toplam mekanik enerjisi:

             E =  E_k   + E_p 

                            E = G .m. M / 2r_y +(- G .m. M / r_y) 

             E = - G .m. M / 2r_y

Uydunun yörüngedeyken toplam mekanik enerjisini sıfırlamak için eşdeğer

 pozitif  bir enerjiyi  uyduya vermek gerekir. Bu enerjiye uyduyu yörüngede tuta- cağı için  bağlanma enerjisi ( E_b ) denir.

            

                E_b = + G . m . M / 2r_yer

 

    Rölativistik Kinetik Enerji

 

Hiç bir kuvvetin etkisinde  olmadan durmakta olan bir cismin, hiç enerjisi olmaması  gerekir.  Hareket  etmediği için kinetik enerjisi, herhangi  bir kuvvetin etkisinde olmadığı için de potansiyel enerjisi olmamalıdır.

Einstein' e  göre ise  bütün  maddeler durgun kütle enerjisine sahiptirler.

   E₀: durgun kütle enerjisi ( joule)

 m₀ : cismin durgun haldeki kütlesi (kg)

    c : ışık hızı ( 3.10⁸   m/s ) 

 

              Durgun kütle enerjisi:

                       E₀ = m₀ c²

  

    Einstein' a  göre  bir cismin  hızı  ışık hızına yaklaştığı zaman, cismin kütlesi   artar. 

   Işık hızındaki bir cismin kütlesi:

                                ___________

            m =  m₀  /  Ö 1 - ( v²  / c² )

 

Bir cismin hızı ışık hızına yakın olduğu zaman     ( 0.1c, 1/2c, 1/3c,..)bu cisme rölativistik parçacık denir.   v = c olduğu zaman madde sonsuz olur. Madde ışına dönüşür. Gerçekte hiçbir cisim ışık hızına ulaşamamıştır.

Cismin hızı ışık hızına yaklaştığında sahip olduğu kinetik enerjiye rölativistik kinetik enerji  denir.

Rölativistik kinetik enerji:

              

             E = Dm. c² = ( m - m₀ ) c² 

  

     Cismin hızı ışık hızına göre çok düşük ise  cismin  rölativistik  kütlesi (m),  durgun kütlesine (m₀) eşittir.

          v << c        ise      m = m₀

    m = m₀  olduğu zaman cismin kinetik enerjisine  klasik kinetik enerjisi denir.

                    E_k  = ( 1/ 2 ) m₀ v²