Gravitasyonel etkileşmeleri ve dolayısıyla büyük ölçekte evrenin yapısını açıklayan genel relativite teorisinin temel denklemleri olan  Einstein alan denklemleri ;

                                                                              (1)

şeklindedir. Burada ;

  : Uzay-zamanın metrik potansiyeli,         : Enerji-momentum tensörü,

 : Einstein alan tensörü,                            : Ricci tensörü,

R     : ( ) Ricci skaleri,                           : Kozmolojik sabit,

c      : () sabittir.

Bu alan denklemlerinin bir yanı uzay geometrisiyle diğer yanı ise madde ve madde dağılımıyla (enerji-momentum tensörü ile) ilgilidir. Bu denklemler, ikinci mertebeden lineer olmayan karmaşık kısmi diferansiyel denklemler sistemi oluşturduklarından çözümleri oldukça zordur. Bu yüzden çoğunun bu halde, bir yana homogenlik, izotropi, küresel-, silindirik-, düzlemsel- simetri gibi bazı özel fiziksel ve matematiksel koşullardan biri, birkaçı veya bunların bir kombinasyonu yüklenerek; diğer yana da ideal akışkan, vizkoz akışkan, ısı akısı, elektromanyetik alan, sicim, domain wall, monopol ve texture gibi fiziksel niceliklerden bir, birkaçı veya bunların bir kombinasyonu eklenerek çözümleri elde edilmeye çalışılır.

Bu seminerde global monopol kaynaklı küresel simetrik uzay-zamanlar için Einstein alan denklemlerinin elde edilişi ve bu denklemlerin çözümlerinin nasıl bulunduğu hakkında bilgi verilecektir.

Küresel simetrik uzay-zaman için yay elemanı;

                                                         (2)

Burada  A ve B, r’ye bağlı fonksiyonlardır. [] ise koordinatlardır.

(2) denklemiyle verilen küresel simetrik yay elemanı için metrik tensörün bileşenleri aşağıdaki şekildedir.

                                                                     (3)

          Uzay-zamanda evre geçişi sırasında simetri bozulmasıyla ortaya çıkan herhangi bir  topolojik kusur için enerji-momentum tensörü ;

                                                                                                 (4)

şeklindedir.Burada   (m,n =1..4)  kısmi türev , f skaler alan  ve L ise ;

                                                                                                (5)

şeklinde tanımlanan Lagrange fonksiyonudur. Burada V(f) ;

                                                                                                (6)

f^a skaler alanına ve uzay-zamanın simetri kırılma ölçüsü olan ’ya bağlı potansiyeldir. Küresel simetrik uzay-zamanda tanımlı bir global monopol için f^a ;

                                                                                                               (7)

şeklindedir. Burada ,    koordinat bileşenleri (a =1,2,3) ve h(r) ise r’ ye bağlı olup, monopol’ün içindeki ve dışındaki gravitasyonel alanı belirlememize yarayan bir fonksiyondur. Monopol içindeki alanlar için h(r ) = 0 ve monopol dışındaki alanlar için         (r >>d, burada d~ şeklinde tanımlanan monopol çekirdeğinin büyüklüğüdür) h(r)=1 dir. Biz monopol dışında oluşan alan ile ilgilendiğimizden h(r )  = 1 alacağız. (4)-(7) denklemlerinden monopolün enerji momentum tensörü;

                                                            (8)

şeklinde elde edilir.

(1)  ve (2) denklemlerinden  Einstein alan tensörünün  bileşenleri

                                                                                                (9)

                                           (10)                

                                                                                               (11)                

şeklinde bulunur. Burada  (’) ve (’’) sırasıyla r’ye göre birinci ve ikinci türevleri göstermektedir.

(8) denkleminden enerji momentum tensörünün bileşenleri yani Einstein alan denklemlerinin sağ tarafı aşağıdaki gibi elde edilir.

                                                                                                             (12)

                                                                                                                (13)

Şimdi bulduğumuz tüm denklemleri kullanarak Einstein alan denklemlerini çözebiliriz.

Bulunan (9) - (13) denklemleri (1)’de verilen alan denklemlerinde yerine koyulduğunda;

                                                                                            (14)

                                                          (15)                

                                                                                                                (16)

kısmi diferansiyel denklem sistemlerini elde ederiz. Bu denklem sisteminin birlikte çözümlerinden A( r) ve B( r) fonksiyonlarının ifadeleri ;

                                                                                                     (17)

                                                                                               (18)

şeklinde elde edilir. Burada c₁ ve c₂ denklem sistemlerinin çözümlerinden gelen sabitlerdir.Bu durumda (2) metriği,

           (19)

şeklinde olur. c₁ ve c₂ sabitlerinin değerleri (19) denklemiyle verilen metriğin, aşağıda belirtilen Schwarzshild metriği;

                                     (20)

ile karşılaştırılmasından ve sınır koşullarından bulunabilir. Böylece  c₁ = -2 Gm_c ve c₂ =1  alınarak     A( r) ve B( r) fonksiyonları ,

                                                                          (21)

şeklinde elde edilir.

kaynakİ Einstein alan denklemleri